Co rozumie się przez „reakcję impulsową” i „odpowiedź częstotliwościową” systemu?

Czy ktoś może wskazać różnicę między odpowiedzią częstotliwościową a odpowiedzią impulsową w prostym angielskim?

Odpowiedź impulsowa i odpowiedź częstotliwościowa to dwa atrybuty, które są przydatne do charakteryzowania systemów liniowych niezmienników czasowych (LTI) . Zapewniają dwa różne sposoby obliczania mocy wyjściowej systemu LTI dla danego sygnału wejściowego. Ciągły system LTI jest zwykle zilustrowany następująco:

Zasadniczo układ odwzorowuje swój sygnał wejściowy na odpowiedni sygnał wyjściowy . Istnieje wiele rodzajów systemów LTI, które mogą stosować bardzo różne transformacje do sygnałów, które przez nie przechodzą. Ale wszystkie mają dwie kluczowe cechy:$H$$x(t)$$y(t)$

• System jest liniowy , więc przestrzega zasady superpozycji . Mówiąc prosto, jeśli liniowo połączysz dwa sygnały i wprowadzisz je do systemu, wyjście jest tą samą liniową kombinacją tego, co byłyby wyjścia, gdyby sygnały były przekazywane osobno. To znaczy, jeśli odwzorowuje na wyjście a odwzorowuje na wyjście , to dla wszystkich wartości i ,$x_1(t)$$y_1(t)$$x_2(t)$$y_2(t)$$a_1$$a_2$

$$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$$

• System jest niezmienny w czasie , więc jego właściwości nie zmieniają się z czasem. Jeśli dodasz opóźnienie do sygnału wejściowego, po prostu dodasz to samo opóźnienie do wyjścia. Dla sygnału wejściowego który jest odwzorowany na sygnał wyjściowy , to dla wszystkich wartości ,$x(t)$$y(t)$$\tau$

$$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$$

Systemy LTI z czasem dyskretnym mają te same właściwości; notacja jest inna ze względu na różnicę dyskretną w stosunku do ciągłej, ale są one do siebie podobne. Te cechy pozwalają na bezpośrednie scharakteryzowanie działania systemu za pomocą jego odpowiedzi impulsowych i częstotliwościowych. Zapewniają dwie perspektywy systemu, które można wykorzystać w różnych kontekstach.

Odpowiedź impulsowa:

Impuls , który jest określany w perspektywie odpowiedzi impulsowej jest na ogół krótki czas trwania sygnału w dziedzinie czasu. W przypadku systemów ciągłych jest to funkcja delta Diraca , podczas gdy w systemach dyskretnych zwykle używana jest funkcja delta Kroneckera . Odpowiedź impulsowa systemu (często opisywana jako dla układów o czasie ciągłym lub dla układów z czasem dyskretnym) jest definiowana jako sygnał wyjściowy, który powstaje, gdy impuls zostanie przyłożony do wejścia systemu.$\delta(t)$ $\delta[n]$$h(t)$$h[n]$

Dlaczego to jest przydatne? Pozwala nam przewidzieć, jak będzie wyglądać wyjście systemu w dziedzinie czasu. Pamiętasz wspomniane wyżej właściwości liniowości i niezmienności czasu? Jeśli możemy zdekomponować sygnał wejściowy systemu na sumę wielu składników, wówczas wyjście jest równe sumie wyjść systemu dla każdego z tych składników. Co jeśli moglibyśmy rozłożyć nasz sygnał wejściowy na sumę skalowanych i przesuniętych w czasie impulsów? Wówczas wynik byłby równy sumie kopii odpowiedzi impulsowej, skalowany i przesunięty w czasie w ten sam sposób.

W przypadku systemów z czasem dyskretnym jest to możliwe, ponieważ można zapisać dowolny sygnał jako sumę skalowanych i przesuniętych w czasie funkcji delta Kroneckera:$x[n]$

$$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$$

Każdy termin w sumie jest impulsem skalowanym o wartość w tym momencie. Co byśmy otrzymali, gdybyśmy przeszli przez system LTI, aby uzyskać ? Proste: każdy skalowany i opóźniony czasowo impuls, który wprowadzamy, daje skalowaną i opóźnioną czasowo kopię odpowiedzi impulsowej na wyjściu. To jest:$x[n]$$x[n]$$y[n]$

$$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

gdzie jest odpowiedzią impulsową systemu. Powyższe równanie jest twierdzeniem splotowym dla układów LTI z czasem dyskretnym. Oznacza to, że dla każdego sygnału który jest wprowadzany do systemu LTI, sygnał wyjściowy jest równy dyskretnemu zwojowi sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej systemu.$h[n]$$x[n]$$y[n]$

W przypadku systemów czasu ciągłego powyższy prosty rozkład nie jest możliwy w ścisłym sensie matematycznym (delta Diraca ma zerową szerokość i nieskończoną wysokość), ale na poziomie inżynierii jest to przybliżony, intuicyjny sposób patrzenia na problem. Podobne twierdzenie o zwojach dotyczy tych systemów:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

gdzie znowu jest odpowiedzią impulsową systemu. Istnieje wiele sposobów na wyprowadzenie tej relacji (myślę, że możesz podnieść podobny argument jak powyżej, twierdząc, że funkcje delty Diraca przy każdej zmianie czasu stanowią ortogonalną podstawę przestrzeni Hilbert, zauważając, że możesz użyć właściwość przesiewania funkcji delta do wyświetlania dowolnej funkcji w na tej podstawie, dzięki czemu można wyrażać dane wyjściowe systemu w kategoriach danych wyjściowych powiązanych z bazą (tj. odpowiedzi impulsowe przesunięte w czasie), ale nie jestem licencjonowanym matematykiem, więc odłożę to na bok). Tutaj pokazana jest jedna metoda, która opiera się tylko na wyżej wymienionych właściwościach systemu LTI .$h(t)$$L^2$$L^2$

Podsumowując: Zarówno w przypadku układów dyskretnych, jak i ciągłych odpowiedź impulsowa jest przydatna, ponieważ pozwala nam obliczyć moc wyjściową tych systemów dla dowolnego sygnału wejściowego; wyjście to po prostu sygnał wejściowy spleciony z funkcją odpowiedzi impulsowej.

Pasmo przenoszenia:

Odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI zapewnia podobną funkcję: pozwala obliczyć wpływ, jaki system będzie miał na sygnał wejściowy, z wyjątkiem tego, że efekty te są przedstawione w dziedzinie częstotliwości . Przypomnijmy definicję transformacji Fouriera :

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Co ważniejsze dla ilustracji, spójrz na jej odwrotność:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$$

Zasadniczo relacja ta mówi nam, że dowolny sygnał w dziedzinie czasu może zostać rozbity na liniową kombinację wielu złożonych funkcji wykładniczych o różnych częstotliwościach (istnieje analogiczna zależność dla sygnałów o czasie dyskretnym, zwana dyskretnym czasem Fouriera transform ; dla uproszczenia traktuję poniższy przypadek ciągłego czasu). Dla sygnału w dziedzinie czasu transformata Fouriera daje odpowiednią funkcję która określa, dla każdej częstotliwości , współczynnik skalowania stosowany do złożonej wykładniczej wykładniczej przy częstotliwości$x(t)$$x(t)$$X(f)$$f$$f$w wyżej wymienionej kombinacji liniowej. Te współczynniki skalowania są na ogół liczbami zespolonymi. Jednym ze sposobów patrzenia na liczby zespolone jest format amplitudowy / fazowy, to znaczy:

$$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$$

Patrząc na to w ten sposób, można zapisać jako liniową kombinację wielu złożonych funkcji wykładniczych, z których każda jest skalowana amplitudowo przez funkcję i przesunięta fazowo przez funkcję . Jest to zgodne z właściwościami systemu LTI, które omówiliśmy wcześniej; jeśli możemy zdekomponować nasz sygnał wejściowy na liniową kombinację szeregu złożonych funkcji wykładniczych, możemy zapisać wynik systemu jako tę samą liniową kombinację odpowiedzi systemu na te złożone funkcje wykładnicze.$x(t)$$A(f)$$\phi(f)$$x(t)$

Tutaj jest coraz lepiej: funkcje wykładnicze są funkcjami własnymi liniowych systemów niezmienniczych w czasie. Chodzi o to, że podobnie jak wektory własne w algebrze liniowej, jeśli umieścisz funkcję wykładniczą w systemie LTI, otrzymasz tę samą funkcję wykładniczą, skalowaną według (ogólnie złożonej) wartości. Ma to wpływ na zmianę amplitudy i fazy funkcji wykładniczej, którą wprowadzasz.

Jest to niezwykle przydatne w połączeniu z omówionym powyżej rozkładem opartym na transformacie Fouriera. Jak powiedzieliśmy wcześniej, możemy zapisać dowolny sygnał jako liniową kombinację wielu złożonych funkcji wykładniczych o różnych częstotliwościach. Jeśli przekażemy do układu LTI, wówczas (ponieważ te wykładnicze są funkcjami własnymi układu), dane wyjściowe zawierają złożone wykładnicze przy tych samych częstotliwościach, skalowane tylko amplitudowo i przesunięte w fazie. Wpływ na amplitudy i fazy wykładnicze w funkcji częstotliwości jest reakcją częstotliwościową systemu . To znaczy, dla sygnału wejściowego z transformatą Fouriera przekazanego do układu celu uzyskania wyjścia z transformatą Fouriera$x(t)$$x(t)$$X(f)$$H$$Y(f)$,

$$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$$

Podsumowując: Jeśli więc znamy odpowiedź częstotliwościową systemu i transformatę Fouriera sygnału, który do niej wprowadzamy , to łatwo jest obliczyć transformatę Fouriera mocy wyjściowej systemu; jest jedynie iloczynem odpowiedzi częstotliwościowej i transformacji sygnału wejściowego. Dla każdej złożonej częstotliwości wykładniczej występującej w widmie , układ powoduje skalowanie tej wykładniczej amplitudy o i przesunięcie wykładniczej fazy o radian .$H(f)$$X(f)$$X(f)$$A(f)$$\phi(f)$

Łącząc je razem:

Odpowiedź impulsowa i odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI są ściśle powiązane. Odpowiedź częstotliwościowa jest po prostu transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej systemu (aby zobaczyć, dlaczego ta relacja się utrzymuje, zobacz odpowiedzi na inne pytanie ). Tak więc dla systemu ciągłego:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$$

Tak więc, biorąc pod uwagę odpowiedź impulsową systemu lub odpowiedź częstotliwościową, możesz obliczyć drugą. Każdy z nich jest wystarczający do pełnego scharakteryzowania zachowania systemu; odpowiedź impulsowa jest użyteczna podczas pracy w dziedzinie czasu, a odpowiedź częstotliwościowa jest użyteczna podczas analizy zachowania w dziedzinie częstotliwości.

Uderz w coś ostro jeden raz i wykreśl, jak reaguje w dziedzinie czasu (jak w przypadku oscyloskopu lub plotera piórkowego). To będzie blisko odpowiedzi impulsowej.

Zdobądź generator tonów i wibruj coś o różnych częstotliwościach. Niektóre częstotliwości rezonansowe zostaną wzmocnione. Inni mogą wcale nie odpowiadać. Wykreśl wielkość odpowiedzi i fazę względem częstotliwości wejściowej. To będzie blisko pasma przenoszenia.

W przypadku niektórych powszechnych klas systemów (w których system niewiele się zmienia w czasie, a nieliniowość jest na tyle mała, że ​​można go zignorować w danym celu), obie odpowiedzi są powiązane i może mieć zastosowanie transformacja Laplace'a lub Fouriera do przybliżenia związku.

Odpowiedź impulsowa jest odpowiedzią systemu na pojedynczy impuls o nieskończenie krótkim czasie trwania i energii jednostkowej (impuls Diraca). Pasmo przenoszenia pokazuje, jak bardzo każda częstotliwość jest tłumiona lub wzmacniana przez system.

Odpowiedź częstotliwościowa systemu jest odpowiedzią impulsową przekształconą w dziedzinę częstotliwości. Jeśli masz odpowiedź impulsową, możesz użyć FFT, aby znaleźć odpowiedź częstotliwościową, a odwrotnej FFT możesz przejść od odpowiedzi częstotliwościowej do odpowiedzi impulsowej.

Krótko mówiąc, mamy dwa rodzaje podstawowych reakcji: odpowiedzi czasowe i częstotliwościowe . Odpowiedzi czasowe sprawdzają, jak system działa z chwilowymi zakłóceniami, podczas gdy odpowiedzi częstotliwościowe testują go z ciągłymi zaburzeniami. Reakcje czasowe zawierają takie elementy, jak reakcja skokowa, reakcja rampowa i reakcja impulsowa . Odpowiedzi częstotliwościowe zawierają odpowiedzi sinusoidalne .

Aalto University ma tutaj darmowy materiał Mat-2.4129 , najbardziej odpowiednie prawdopodobnie pliki Matlab, ponieważ większość rzeczy po fińsku. Jeśli jesteś bardziej zainteresowany, możesz sprawdzić poniższe filmy wideo z wprowadzeniem. Uznałem je za pomocne.

Mam tylko bardzo podstawową wiedzę na temat problemów LTI, więc omówię je poniżej - ale z pewnością istnieje wiele innych rodzajów problemów!

Odpowiedzi na problemy z liniowym niezmiennikiem czasowym

W przypadku problemów LTI (liniowy niezmiennik czasowy) dane wejściowe i wyjściowe muszą mieć tę samą formę: dane wejściowe sinusoidalne mają dane wyjściowe sinusoidalne i podobnie wyniki wejściowe krokowe w dane wyjściowe krokowe. Jeśli nie masz systemu LTI - powiedzmy, że masz sprzężenie zwrotne lub korelacja sterowania / szumu i danych wejściowych - wszystkie powyższe twierdzenia mogą być błędne. Dzięki LTI otrzymasz dwa rodzaje zmian: przesunięcie fazowe i amplitudowe, ale częstotliwość pozostaje taka sama. Jeśli złamiesz niektóre założenia, powiedzmy z założeniem braku korelacji, wtedy dane wejściowe i wyjściowe mogą mieć bardzo różne formy.

Jeśli chcesz sprawdzić, czy system jest LTI, możesz użyć narzędzia, takiego jak równanie Wienera-Hopfa i analiza korelacji. Równanie Wienera-Hopfa stosuje się w układach hałaśliwych. Konieczne jest sprawdzanie poprawności wyników i weryfikowanie przesłanek, w przeciwnym razie łatwe jest popełnianie błędów przy różnych odpowiedziach. Więcej informacji na temat określania odpowiedzi impulsowej w głośnym systemie tutaj .

Bibliografia

1. Artykuł w Wikipedii na temat LTI tutaj

2. Bardzo dobre filmy wprowadzające na temat różnych odpowiedzi tutaj i tutaj - kilka kluczowych punktów poniżej.