Jestem całkiem pewien, że rozumiem, jak działa integracja Monte Carlo, ale nie rozumiem sformułowania, w jaki sposób jest ona używana do oszacowania Pi. Postępuję zgodnie z procedurą opisaną na 5. slajdzie tej prezentacji http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf
Rozumiem wstępne kroki. Pi jest równe 4-krotności pola jednej czwartej okręgu jednostki. A obszar prawej górnej ćwiartki koła jednostkowego wyśrodkowany na (0,0) jest równoważny całce krzywej, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostkowego w i .
Nie rozumiem, jak ta całka jest
gdzie jest równomiernie rozmieszczone w jednostce kwadratowej wokół ćwiartki koła (tzn. zawsze jest równe 1, jeśli i i 0 w przeciwnym razie). Oznaczałoby to więc, że
jest funkcją, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostek przy i ale nie rozumiem, jak to jest prawda, ponieważ funkcja wskaźnika może wynosić tylko 1 lub 0. Rozumiem, że jest prawdopodobnie napisane w ten sposób, aby ułatwić próbkowanie Monte Carlo (tj. Jest to oczekiwanie, więc po prostu próbkuj z i uzyskaj średnią z próbek zastosowanych do
), ale nie ma dla mnie intuicyjnego uzasadnienia, dlaczego ta całka reprezentuje obszar pod tą krzywą.
Czy ktoś mógłby podać intuicyjne wyjaśnienie tego. Może pokaż, w jaki sposób tę całkę uzyskano krok po kroku?
EDYTOWAĆ:
Byłem w stanie lepiej zrozumieć, odnosząc oczekiwania do danego obszaru. Wyjaśnię to tutaj na wypadek, gdyby komukolwiek to pomogło. Najpierw zacznij od powiązania Pi z obszarem prawej górnej ćwiartki koła jednostek
Następnie umieszczamy prawy górny kwadrant w kwadracie jednostki. A przy równomiernym rozmieszczeniu na kwadracie jednostkowym pole kwadrantu koła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa uzyskania z niego próbki. Wynika z tego, że obowiązuje następująca równość
i tak
I podstawiając do pierwotnego równania
i prawdą jest również, że która jest równa pierwotnej podwójnej całce.
Zrozumiałem to, odnosząc obszar do prawdopodobieństwa, a następnie odnosząc to prawdopodobieństwo do oczekiwania równoważnego całce. Daj mi znać, jeśli popełniłem jakieś błędy.
źródło
Najprostsze intuicyjne wyjaśnienie polega na zrozumieniu, że . Zatem . Po sobie sprawę podwójnego integal jest po prostu prawdopodobieństwo, powinien on dokonać intuicyjne poczucie, że można spróbować i od placu jednostki i obliczenia proporcji rysuje dla których .E(I(A))=P(A) ∫∫I(x2+y2<1)dxdy=P(x2+y2<1) x y x2+y2<1
Być może inną intuicją, której brakuje w twoim zrozumieniu, jest związek między obszarem a prawdopodobieństwem. Ponieważ obszar całej kwadrat jednostki wynosi 1 i punkty są równomiernie rozmieszczone w obrębie kwadratu, powierzchni każdego obszaru w kwadrat jednostki odpowiadałaby prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt będzie mieścić się w zakresie .(x,y) A A
źródło
Wylądowałem na tym surfingowym CV i widzę, że kod Monte Carlo jest w Octave. Zdarza się, że mam symulację w R, która sprawia, że pomysł uzyskania liczby jako dwuwymiarowego rozkładu jednorodnego w płaszczyźnie pod ograniczeniami całek w OP jest bardzo intuicyjny:π [0,1]
Biorąc pod uwagę, że ćwiartka koła jest zamknięta w 1-jednostkowym kwadracie, obszar wynosi . Tak więc generowanie równomiernie rozmieszczonych punktów na kwadracie zakończy wykładzinę całego kwadratu, a obliczenie frakcji spełniającej będzie równoznaczne z całkowaniem ponieważ właśnie wybieramy ułamek kropek w okręgu w stosunku do kwadratu jednostkowego:π/4 (x,y) 1<(x2+y2)−−−−−−−−√ ∬1((x2+y2)<1)1(0<x<1)1(0<y<1)
Możemy wykreślić wartości mieszczące się w promieniu wśród 10 000 losowań:
I możemy naturalnie przybliżać się, wybierając więcej punktów. Z 1 milionem punktów otrzymujemy:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644
bardzo przybliżony wynik. Oto fabuła:
źródło