Niezrozumienie oszacowania Monte Carlo Pi

9

Jestem całkiem pewien, że rozumiem, jak działa integracja Monte Carlo, ale nie rozumiem sformułowania, w jaki sposób jest ona używana do oszacowania Pi. Postępuję zgodnie z procedurą opisaną na 5. slajdzie tej prezentacji http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Rozumiem wstępne kroki. Pi jest równe 4-krotności pola jednej czwartej okręgu jednostki. A obszar prawej górnej ćwiartki koła jednostkowego wyśrodkowany na (0,0) jest równoważny całce krzywej, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostkowego w0<x<1 i 0<y<1.

Nie rozumiem, jak ta całka jest

I((x2+y2)<1)P(x,y)dxdy

gdzie jest równomiernie rozmieszczone w jednostce kwadratowej wokół ćwiartki koła (tzn. zawsze jest równe 1, jeśli i i 0 w przeciwnym razie). Oznaczałoby to więc, że jest funkcją, która jest prawą górną ćwiartką koła jednostek przy i ale nie rozumiem, jak to jest prawda, ponieważ funkcja wskaźnika może wynosić tylko 1 lub 0. Rozumiem, że jest prawdopodobnie napisane w ten sposób, aby ułatwić próbkowanie Monte Carlo (tj. Jest to oczekiwanie, więc po prostu próbkuj z i uzyskaj średnią z próbek zastosowanych doP(x,y)0<x<10<y<1I((x2+y2)<1)P(x,y)
0<x<10<y<1P(x,y)I((x2+y2)<1)), ale nie ma dla mnie intuicyjnego uzasadnienia, dlaczego ta całka reprezentuje obszar pod tą krzywą.

Czy ktoś mógłby podać intuicyjne wyjaśnienie tego. Może pokaż, w jaki sposób tę całkę uzyskano krok po kroku?

EDYTOWAĆ:

Byłem w stanie lepiej zrozumieć, odnosząc oczekiwania do danego obszaru. Wyjaśnię to tutaj na wypadek, gdyby komukolwiek to pomogło. Najpierw zacznij od powiązania Pi z obszarem prawej górnej ćwiartki koła jednostek

π=4×Atr

Następnie umieszczamy prawy górny kwadrant w kwadracie jednostki. A przy równomiernym rozmieszczeniu na kwadracie jednostkowym pole kwadrantu koła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa uzyskania z niego próbki. Wynika z tego, że obowiązuje następująca równość

P(x2+y2<1)=AtrAsquare

i takAsquare=1

P(x2+y2<1)=Atr

I podstawiając do pierwotnego równania

π=4×P(x2+y2<1)

i prawdą jest również, że która jest równa pierwotnej podwójnej całce.P(x2+y2<1)=E[I(x2+y2<1)]

Zrozumiałem to, odnosząc obszar do prawdopodobieństwa, a następnie odnosząc to prawdopodobieństwo do oczekiwania równoważnego całce. Daj mi znać, jeśli popełniłem jakieś błędy.

użytkownik1893354
źródło

Odpowiedzi:

8

Pole okręgu koła o promieniu jest równe . Oznacza to, że jedna czwarta koła ma powierzchnię . Oznacza to, że kwadrat o boku promienia okręgu jako .lπl2l2π/4area=l2

Oznacza to, że stosunek między powierzchnią ćwiartki koła a powierzchnią kwadratu wynosi . π/4

Punkt znajduje się w kwadracie, jeśli . i jest w ćwiartce koła, jeśli . (x,y)0<x<1,0<y<10<x<1,0<y<1,x2+y2<1

Twoja całka jest więc To jest dokładnie obszar opisany przez ćwierć kołaI((x2+y2)<1)P(x,y)=I((x2+y2)<1)I(0<x<1)I(0<y<1)

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Donbeo
źródło
Chyba po prostu ciężko mi narysować związek między warunkami wewnątrz całki a samą krzywą. Jeśli narysowałeś I (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) dla różnych wartości xiy, nie uzyskałbyś krzywej. Dlaczego?
user1893354
1
{(x,y):(x2+y2<1),(0<x<1),(0<y<1)} to punkty na ćwiartce koła. Sugeruję, aby spróbować nakreślić te punkty
Donbeo
Zgadzam się z tym. Ale kiedy zastosujesz funkcję wskaźnika I (.), Wszystkie zostaną wypchnięte do 1 lub 0.
user1893354
Co masz na myśli?
Donbeo
1
Funkcja wskaźnika w całce jest tylko innym sposobem na określenie krzywych, w których należy obliczyć całkę. quarter of circle=1(x2+y2<1)1(0<x<1)1(0<y<1)
Donbeo
4

Najprostsze intuicyjne wyjaśnienie polega na zrozumieniu, że . Zatem . Po sobie sprawę podwójnego integal jest po prostu prawdopodobieństwo, powinien on dokonać intuicyjne poczucie, że można spróbować i od placu jednostki i obliczenia proporcji rysuje dla których . E(I(A))=P(A)I(x2+y2<1)dxdy=P(x2+y2<1)xyx2+y2<1

Być może inną intuicją, której brakuje w twoim zrozumieniu, jest związek między obszarem a prawdopodobieństwem. Ponieważ obszar całej kwadrat jednostki wynosi 1 i punkty są równomiernie rozmieszczone w obrębie kwadratu, powierzchni każdego obszaru w kwadrat jednostki odpowiadałaby prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt będzie mieścić się w zakresie .(x,y)AA

jsk
źródło
Tak też to rozumiem. Ale mam problem z połączeniem go z formułą Pi = 4x (pole ćwiartki koła). Porównanie obszarów do próbek nie ma intuicyjnego sensu. Przypuszczam, że połączenie polega na tym, że przy jednolitym rozkładzie liczba próbek jest proporcjonalna do powierzchni.
user1893354
1
@ user1893354 Odpowiedź poprawiona. Daj mi znać, jeśli to pomoże Twojej intuicji.
jsk
0

Wylądowałem na tym surfingowym CV i widzę, że kod Monte Carlo jest w Octave. Zdarza się, że mam symulację w R, która sprawia, że ​​pomysł uzyskania liczby jako dwuwymiarowego rozkładu jednorodnego w płaszczyźnie pod ograniczeniami całek w OP jest bardzo intuicyjny:π[0,1]

Biorąc pod uwagę, że ćwiartka koła jest zamknięta w 1-jednostkowym kwadracie, obszar wynosi . Tak więc generowanie równomiernie rozmieszczonych punktów na kwadracie zakończy wykładzinę całego kwadratu, a obliczenie frakcji spełniającej będzie równoznaczne z całkowaniem ponieważ właśnie wybieramy ułamek kropek w okręgu w stosunku do kwadratu jednostkowego:π/4(x,y)1<(x2+y2)1((x2+y2)<1)1(0<x<1)1(0<y<1)

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Możemy wykreślić wartości mieszczące się w promieniu wśród 10 000 losowań:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

I możemy naturalnie przybliżać się, wybierając więcej punktów. Z 1 milionem punktów otrzymujemy:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

bardzo przybliżony wynik. Oto fabuła:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Antoni Parellada
źródło