Czy każda pół-dodatnia określona macierz odpowiada macierzy kowariancji?

Powszechnie wiadomo, że macierz kowariancji musi być pół-dodatnia, jednak czy odwrotność jest prawdziwa?

To znaczy, czy każda półpodatnicza określona macierz odpowiada macierzy kowariancji?

covariance matrix Jingjings
źródło

Odpowiedzi:

Przechodzenie przez definicjach PD i PSD tutaj , tak, myślę, że tak, ponieważ możemy to zrobić poprzez budowę. Przyjmę nieco prostszy argument, który masz na myśli dla macierzy z prawdziwymi elementami, ale przy odpowiednich zmianach rozszerzyłby się on na złożone macierze.

$A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

$Z$ $I$

$LZ$ $A$

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

@amoeba Chociaż można go tak zorganizować, to nie musi być trójkątny, aby argument działał - jest to cecha Cholesky'ego, ale nie jest wymagany, aby wynik zadziałał.

Glen_b

@Glen Czy bycie symetrycznym jest niezbędnym warunkiem bycia PSD, czy też ta definicja jest jedną z wielu?

114

@ 114 dla relacji między symetrycznym a PSD patrz math.stackexchange.com/questions/516533/…

Frank,