Czy korelacja niezerowa oznacza zależność?

Wiemy, że zerowa korelacja nie oznacza niezależności. Interesuje mnie, czy niezerowa korelacja implikuje zależność - tj. Jeśli $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ dla niektórych zmiennych losowych i , możemy ogólnie powiedzieć, że ?$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Tak ponieważ

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

co byłoby niemożliwe, gdyby . Więc$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Pytanie: co dzieje się ze zmiennymi losowymi, które nie mają gęstości?

Niech i Y oznaczają zmienne losowe, tak że E [ X 2 ] i E [ Y 2 ] są skończone. Następnie E [ X Y ] , E [ X ] i E [ Y ] są skończone.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Ograniczając naszą uwagę do takich zmiennych losowych, niech oznacza stwierdzenie, że X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, a B stwierdzenie, że X i Y są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi, to znaczy E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Wiemy zatem, że A implikuje B , to znaczy niezależne zmienne losowe są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi. Rzeczywiście, jedna definicja$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$niezależnych zmiennych losowych jest to, że równa się E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] dla wszystkich mierzalnych funkcji g ( ⋅ ) i h ( ⋅ ) ). Zazwyczaj jest to wyrażone jako $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Ale

$$A \implies B.$$ jest logicznie równoważne ¬ $A \implies B$ , to znaczy$\neg B \implies \neg A$

skorelowane zmienne losowe są zależnymi zmiennymi losowymi.

Jeśli , E [ X ] lub E [ Y ] nie są skończone lub nie istnieją, nie można stwierdzić, czy X i Y są nieskorelowane, czy nie w klasycznym znaczeniu nieskorelowanych zmiennych losowych które E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Na przykład X i Y mogą być niezależnymi zmiennymi losowymi Cauchy'ego (dla których średnia nie istnieje$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$). Czy są to nieskorelowane zmienne losowe w sensie klasycznym?

Oto czysto logiczny dowód. Jeśli to koniecznie ¬ B → ¬ A , ponieważ oba są równoważne. Zatem, jeśli Kontakty B następnie Kontakty . Teraz zamień A na niezależność, a B na korelację.$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

Pomyśl o stwierdzeniu: „jeśli wybuchnie wulkan, nastąpi uszkodzenie”. Pomyśl teraz o przypadku, w którym nie ma żadnych szkód. Najwyraźniej wulkan nie wybuchł, w przeciwnym razie mielibyśmy kompromis.

Similarly, think about a case "If independent $X,Y$, then non-correlated $X,Y$". Now, consider the case where $X,Y$ are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.