Kowariancja losowego wektora po transformacji liniowej

Jeśli jest losowym wektorem, a jest stałą macierzą, ktoś mógłby wyjaśnić, dlaczego A c o v [ A Z ] = A c o v [ Z ] A ⊤$\mathbf {Z}$$A$

$$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$$

Dla losowego (kolumny) wektora ze średnim wektorem , macierz kowariancji jest zdefiniowana jako nazwa . Zatem macierz kowariancji , której średnim wektorem jest , jest dana przez $\mathbf Z$$\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$$\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$$A\mathbf{Z}$$A\mathbf{m}$

$$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$$

Dodałbym do odpowiedzi Dilipa Sarwate'a, że ​​ten sam wynik dotyczy również transformacji postaci : $\mathbf{Z}A^T$

$$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$$

Stosując to samo podejście:

$$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$$

Używanie w kroku (3): $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

$$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$$