Wyjaśnienie dla niecałkowitych stopni swobody w t t przy nierównych wariancjach

15

Procedura t-testu SPSS zgłasza 2 analizy przy porównywaniu 2 niezależnych średnich, jedną analizę przy założeniu równych wariancji i jedną przy założeniu równych wariancji. Stopnie swobody (df) przy założeniu równych wariancji są zawsze wartościami całkowitymi (i równymi n-2). Df, gdy nie zakłada się równych wariancji, nie są liczbami całkowitymi (np. 11,467) i nigdzie w pobliżu n-2. Szukam wyjaśnienia logiki i metody użytej do obliczenia tych plików nie będących liczbami całkowitymi.

Joel W.
źródło
3
Prezentacja PowerPoint z University of Florida zawiera dobry opis tego, jak to przybliżenie do rozkładu próbkowania statystyki t Studenta jest uzyskiwane w przypadku nierównych wariancji.
whuber
Czy test t Welcha jest zawsze dokładniejszy? Czy korzystanie z metody Welcha ma pewną wadę?
Joel W.,
Jeśli Welch i oryginalny test t dają radykalnie różne wartości p, z czym powinienem iść? Co jeśli wartość p dla różnic wariancji wynosi tylko 0,06, ale różnice w wartościach p dwóch testów t wynoszą 0,000 i 0,121? (Stało się tak, gdy jedna grupa 2 osób nie miała wariancji, a druga grupa 25 osób miała wariancję 70 000).
Joel W.
2
Nie wybieraj między nimi na podstawie wartości . O ile nie masz uzasadnionego powodu (zanim jeszcze zobaczysz dane), aby przyjąć taką samą wariancję, po prostu nie zakładaj tego. p
Glen_b
1
Wszystkie pytania dotyczą tego, kiedy stosować test Welcha. To pytanie zostało opublikowane na stronie stats.stackexchange.com/questions/116610/...
Joel W.,

Odpowiedzi:

11

Welch-Satterthwaite df może być skalowaną ważoną średnią harmoniczną dwóch stopni swobody, z wagami proporcjonalnymi do odpowiednich odchyleń standardowych.

Oryginalne wyrażenie brzmi:

νW=(s12n1+s22n2)2s14n12ν1+s24n22ν2

Należy zauważyć, że jest szacowana wariancja I th średniej próbki lub kwadratowy i -tej błąd standardowy średniej . Niech r = r 1 / r 2 (stosunek szacowanych wariancji średnich próbek), więcri=si2/niithir=r1/r2

νW=(r1+r2)2r12ν1+r22ν2=(r1+r2)2r12+r22r12+r22r12ν1+r22ν2=(r+1)2r2+1r12+r22r12ν1+r22ν2

1+sech(log(r))1r=02r=11r=logr

Drugi czynnik to ważona średnia harmoniczna :

H(x_)=i=1nwii=1nwixi.

of the d.f., where wi=ri2 are the relative weights to the two d.f.

Which is to say, when r1/r2 is very large, it converges to ν1. When r1/r2 is very close to 0 it converges to ν2. When r1=r2 you get twice the harmonic mean of the d.f., and when s12=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.

--

With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.

Glen_b -Reinstate Monica
źródło
1
Great insight about the harmonic mean, which is more appropriate than arithmetic mean for averaging ratios.
Felipe G. Nievinski
10

What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The t-test when the WS correction is applied is often called Welch's t-test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's t-test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular t-test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the t-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a t-distribution with that df.

gung - Reinstate Monica
źródło
For one t-test, SPSS reports the df as 26.608 but the n's for the two groups are 22 and 104. Are you sure about " The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the larger group"? (The standard deviations are 10.5 and 8.1 for the smaller and larger groups, respectively.)
Joel W.
2
It depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2. If the larger n is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.
Glen_b -Reinstate Monica
I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the (si2/ni) and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).
Glen_b -Reinstate Monica
1
@Glen_b, I'm sure that will be of great value here.
gung - Reinstate Monica