glmnet: Jak zrozumieć parametryzację wielomianową?

Następujący problem: chcę przewidzieć zmienną jakościową z jedną (lub więcej) zmiennymi jakościowymi za pomocą glmnet ().

Nie mogę jednak zrozumieć, jaki wynik daje mi glmnet.

Ok, najpierw wygenerujmy dwie powiązane zmienne jakościowe:

Generuj dane

p <- 2 #number variables
mu <- rep(0,p)
sigma <- matrix(rep(0,p^2), ncol=p)
sigma[1,2] <- .8 #some relationship ..
diag(sigma) <- 1
sigma <- pmax(sigma, t(sigma))
n <- 100
set.seed(1)
library(MASS)
dat <- mvrnorm(n, mu, sigma)
#discretize
k <- 3 # number of categories
d <- apply(dat, 2, function(x) {
  q <- quantile(x, probs=seq(0,1, 1/k))[-c(1, k+1)]
  out <- numeric(length(x))
  for(i in 1:(k-1))
  {  out[x<q[k-i]] <- i } 
  return(out)
})
d <- data.frame(apply(d, 2, as.factor))
d[,2] <- relevel(d[,2], ref="0")
d[,1] <- relevel(d[,1], ref="0")
colnames(d) <- c("X1", "X2")

Otrzymujemy:

> table(d)
   X2
X1   0  1  2
  0 22 11  1
  1  9 14 10
  2  3  8 22

Prognozowanie: multinom ()

Następnie przewidujemy X1 przez X2 za pomocą multinom () z pakietu nnet:

library(nnet)
mod1 <- multinom(X1~X2, data=d)
mod1

co daje nam:

Call:
multinom(formula = X1 ~ X2, data = d)

Coefficients:
  (Intercept)      X21      X22
1  -0.8938246 1.134993 3.196476
2  -1.9924124 1.673949 5.083518

Kontrola ręczna

Teraz sprawdźmy, czy możemy odtworzyć to ręcznie:

tb <- table(d)
log(tb[2,1] / tb[1,1]) #intercept category1
[1] -0.8938179
log(tb[3,1] / tb[1,1]) #intercept category2
[1] -1.99243
log((tb[1,1]*tb[2,2]) / (tb[1,2]*tb[2,1])) #logodds-ratio cat X1 0vs1 in X2 0vs1
[1] 1.13498
#same for the three remaining log odds ratios

Produkujemy te same liczby, dobrze!

Prognozowanie: glmnet ()

Teraz zróbmy to samo z glmnet:

library(glmnet)
y <- d[,1]
X <- model.matrix(X1~X2, data=d)[,-1]
mod2 <- glmnet(X, y, family="multinomial", lambda=c(0))
coef(mod2, s=0) #meaning of coefficients unclear!
$`0`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
                     1
(Intercept)  0.9620216
X21         -1.1349130
X22         -3.1958293   

$`1`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
                     1
(Intercept) 0.06825755
X21         .         
X22         .         

$`2`
3 x 1 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
                     1
(Intercept) -1.0302792
X21          0.5388814
X22          1.8870363

Zauważ, że ustawiłem s = 0, więc nie ma regularyzacji, a parametry powinny zawierać dokładnie te same informacje, co parametry funkcji multinom ().

Mimo to otrzymujemy bardzo różne parametry. Wynika to z różnej parametryzacji używanej w glmnet, patrz np .:

http://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.html (nagłówek: modele wielomianowe) lub odpowiedni artykuł: http://www.jstatsoft.org/v33/i01/paper (nagłówek: 4. Regularizowane regresja wielomianowa)

Ale bez względu na to, jak dokładnie jedna się sparametryzuje, należy uzyskać to samo , prawdopodobieństwo kategorii k zależy od X.$P(Y=k | X)$

Prawdopodobieństwa warunkowe: multinom ()

Najpierw obliczam te prawdopodobieństwa na podstawie multinom ():

p.fit <- predict(mod1, type="probs")
head(d)
head(p.fit)
ccp <- matrix(0,3,3)
ccp[,3] <- p.fit[1,]
ccp[,2] <- p.fit[2,]
ccp[,1] <- p.fit[4,]
ccp
           [,1]      [,2]       [,3]
[1,] 0.64705896 0.3333332 0.03030114
[2,] 0.26470416 0.4242450 0.30303140
[3,] 0.08823688 0.2424218 0.66666746
colSums(ccp) #sum to 1, ok; sorry for the awful code ...
[1] 1 1 1

Ponieważ mamy tutaj model nasycony, powinien on być taki sam, jak to, co możemy obliczyć z danych:

emp <- table(d)/100
cemp <- apply(emp, 2, function(x) {
  x / sum(x)
})
cemp 
   X2
             0         1          2
  0 0.64705882 0.3333333 0.03030303
  1 0.26470588 0.4242424 0.30303030
  2 0.08823529 0.2424242 0.66666667

co faktycznie jest prawdą.

Prawdopodobieństwa warunkowe: glmnet ()

Teraz to samo z glmnet:

c1 <- coef(mod2, s=0)
c <-matrix(rapply(c1, function(x) { as.matrix(x)}, how="unlist"), 3,3, byrow=T)

ccp2 <- matrix(0,3,3)
config <- rbind(c(0,0), c(1,0), c(0,1))

for(l in 1:3) #loop through categories
{
  denom <- numeric(3)
  for(i in 1:3) # loop through possible predictor combinations
  { 
    x1 <- config[i, 1]
    x2 <- config[i, 2]
    denom[i] <- exp(c[l,1] + x1 * c[l,2]  + x2 * c[l,3])
  }
  ccp2[l,1] <- denom[1] / sum(denom)
  ccp2[l,2] <- denom[2] / sum(denom)
  ccp2[l,3] <- denom[3] / sum(denom)
}
ccp2
          [,1]      [,2]       [,3]
[1,] 0.7340082 0.2359470 0.03004484
[2,] 0.3333333 0.3333333 0.33333333
[3,] 0.1073668 0.1840361 0.70859708
colSums(ccp2)
[1] 1.1747083 0.7533165 1.0719753

Prawdopodobieństwa warunkowe komórki są nieco powiązane, ale różne. Nie sumują się też do jednego.

Mamy więc dwa problemy:

a) prawdopodobieństwa warunkowe nie sumują się do 1 i

b) parametry nie opisują tego, co widzimy w danych: np. w wierszu 2 występują różnice między kolumnami, ale glmnet szacuje oba współczynniki (nie przecięcie) na zero.

Użyłem problemu z regresją liniową i porównałem glm i glmnet ze s = 0, aby upewnić się, że s = 0 oznacza zerową regularyzację (rozwiązania były prawie identyczne).

Każda pomoc i pomysły będą mile widziane!

Jeśli chodzi o parametry z multinom i glmnet, uznałem tę odpowiedź za przydatną. Czy mogę użyć algorytmów glm do przeprowadzenia wielomianowej regresji logistycznej?

szczególnie: „Tak, za pomocą Poissona GLM (logarytmiczny model liniowy) można dopasować modele wielomianowe. Stąd wielomianowe logistyczne lub logiczne liniowe modele Poissona są równoważne”.

Pokażę więc reparametryzację współczynników glmnet na współczynniki wielomianowe.

n.subj=1000
x1 <- rnorm(n.subj)
x2 <- rnorm(n.subj)
prob <- matrix(c(rep(1,n.subj), exp(3+2*x1+x2), exp(-1+x1-3*x2)), , ncol=3)
prob <- sweep(prob, 1, apply(prob, 1, sum), "/")

y = c()
for (i in 1:n.subj)
  y[i] <- sample(3, 1, replace = T, prob = prob[i,])

multinom(y~x1+x2)

x <- cbind(x1,x2); y2 <- factor(y)
fit <- glmnet(x, y2, family="multinomial", lambda=0, type.multinomial =     "grouped")
cf <- coef(fit)

cf[[2]]@x - cf[[1]]@x   # for the category 2
cf[[3]]@x - cf[[1]]@x   # for the category 3

Mam nadzieję że to pomoże. Ale nie sądzę, że rozumiem równoważność Uogólnionego Modelu Liniowego (Poissona) i wielomianowego modelu logistycznego.

Powiedz mi, czy istnieje dobre, czytelne i „łatwo” zrozumiałe źródło…

Aby upewnić się, że suma prawdopodobieństw wyboru wynosi 1, wszystkie parametry alternatywy referencyjnej muszą wynosić zero. Więc myślę, że wynik glmnet () jest dziwny.

Powiązane P: Dlaczego glmnet można obliczyć parametry dla wszystkich kategorii?