Czy oszacowania punktu przecięcia i nachylenia w prostej regresji liniowej są niezależne?

Rozważ model liniowy

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

oraz oszacowania nachylenia i przecięcia i przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów. To odniesienie do statystyki matematycznej sprawia, że ​​stwierdzenie, że i są niezależne (na dowód ich twierdzenia).$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Nie jestem pewien, czy rozumiem dlaczego. Od

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Czy to nie znaczy, że i są ze sobą powiązane? Prawdopodobnie brakuje mi czegoś naprawdę oczywistego.$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Przejdź do tej samej witryny na następującej podstronie:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Wyraźniej zobaczysz, że określają one prosty model regresji liniowej z regresorem wyśrodkowanym na średniej próbki . I to wyjaśnia, dlaczego tak mówią$\hat \alpha$ i $\hat \beta$ są niezależne.

W przypadku, gdy współczynniki są szacowane za pomocą regresora, który nie jest wyśrodkowany, ich kowariancja wynosi

Widzicie więc, że jeśli użyjemy regresora skoncentrowanego na $\bar x$, nazwać $\tilde x$, powyższe wyrażenie kowariancji wykorzysta średnią próbkową wyśrodkowanego regresora, $\tilde {\bar x}$, który będzie wynosił zero, a więc również będzie wynosił zero, a estymatory współczynników będą niezależne.

Ten post zawiera więcej informacji na temat prostej algebry OLS regresji liniowej.