Powszechnie wiadomo, że asymptotyczna wydajność względna (ARE) testu rang ze znakiem Wilcoxona wynosi porównaniu z testem t- Studenta, jeśli dane pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym. Dotyczy to zarówno podstawowego testu z jedną próbką, jak i wariantu dla dwóch niezależnych próbek (Wilcoxon-Mann-Whitney U). Jest to również ARE testu Kruskala-Wallisa w porównaniu z testem ANOVA F , dla normalnych danych.
Czy ten niezwykły (jak dla mnie, jeden z „ najbardziej nieoczekiwanych wystąpień ”) i niezwykle prosty wynik ma wnikliwy, niezwykły lub prosty dowód?
Odpowiedzi:
Krótki szkic ARE dla testu z jedną próbką , testu z podpisem i testu z podpisaną rangąt
Oczekuję, że długa wersja odpowiedzi @ Glen_b zawiera szczegółową analizę testu rang podpisanych dwoma próbami wraz z intuicyjnym wyjaśnieniem ARE. Więc pominę większość pochodnych. (przypadek jednej próby, brakujące dane można znaleźć w Lehmann TSH).
Problem testowy : Niech będzie losową próbką z modelu lokalizacji f ( x - θ ) , symetryczną względem zera. Mamy obliczyć ARE podpisanego testu, podpisanego testu rangi dla hipotezy H 0 : θ = 0 względem testu t.X1, … , Xn fa( x - θ ) H.0: θ = 0
Aby ocenić względną wydajność testów, brane są pod uwagę tylko lokalne alternatywy, ponieważ spójne testy mają moc zmierzającą do 1 w stosunku do stałej alternatywy. Lokalne alternatywy, które powodują nietrywialną asymptotyczną moc, często mają formę dla ustalonegoh, któryw literaturzenazywa siędryftem Pitmana.θn= h / n--√ h
Przed nami nasze zadanie
Testuj statystyki i asymptotyki
Dlatego A R E ( W n ) = ( √
Jeśli jest jednolita w [-1,1] R E ( S n ) = 1 / 3 , R e ( szer n ) = 1 / 3fa A R E( Sn) = 1 / 3 A R E( W.n) = 1 / 3
Uwaga na temat wyprowadzenia dystrybucji w ramach alternatywy
Istnieje oczywiście wiele sposobów uzyskania ograniczającego rozkładu w ramach alternatywy. Jednym ogólnym podejściem jest użycie trzeciego lematu Le Cam. Uproszczona wersja stwierdza
źródło
źródło
n <- 1e6; x <- rnorm(n); cor(x, rank(x))^2
(co oczywiście daje ten sam rezultat)?Ten sam termin - z tą samą całką - bierze udział w ARE dla podpisanego testu rangi, więc przyjmuje tę samą wartość.
Odniesienie:
JL Hodges i EL Lehmann (1956),
„Skuteczność niektórych nieparametrycznych konkurentów testu t”,
Ann. Matematyka Statystyk. , 27 : 2, 324–335.
źródło