Rozwiązanie do ćwiczenia 2.2a.16 „Solidnych statystyk: podejście oparte na funkcjach wpływu”

Na stronie 180 szczegółowych statystyk: Podejście oparte na funkcjach wpływu można znaleźć następujące pytanie:

• 16: Pokaż, że zawsze dla estymatorów niezmienniczych dla lokalizacji $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$. Znajdź odpowiednią górną granicę w punkcie podziału próby skończonej$\varepsilon^*_n$, zarówno w przypadku, gdy $n$ jest nieparzysty lub $n$ jest parzysty.

Druga część (po kropce) jest właściwie trywialna (biorąc pod uwagę pierwszą), ale nie mogę znaleźć sposobu na udowodnienie pierwszej części (zdania) pytania.

W części książki dotyczącej tego pytania znajduje się (str. 98):

Definicja 2: Punkt podziału próby skończonej $\varepsilon^*_n$ estymatora $T_n$ na próbce $(x_l,\ldots, x_n)$ jest dany przez:

$$\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$$

gdzie próbka $(z_1,\ldots,z_n)$ jest uzyskiwana przez zastąpienie $m$ punktów danych $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ dowolnymi wartościami $y_1,\ldots,y_m.$

Formalna definicja samego $\varepsilon^*$ działa na prawie stronie, ale można go traktować jako

Ja (próbuję) odpowiedzieć na pytanie Whubera w komentarzu poniżej. Książka określa estymator ma kilka stron, poczynając od str. 82, staram się odtworzyć główne części (myślę, że odpowie na pytanie Whubera):$T_n$

Załóżmy, że mamy obserwacje jednowymiarowe które są niezależne i identycznie rozmieszczone (iid). Obserwacje należą do pewnej przykładowej przestrzeni , która jest podzbiorem rzeczywistej linii (często po prostu równa się samej , więc obserwacje mogą przyjmować dowolną wartość ). Model parametryczny składa się z rodziny rozkładów prawdopodobieństwa , w przestrzeni próbki, gdzie nieznany parametr należy do jakiejś przestrzeni parametrów$(X_1,\ldots,X_n)$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$F_\theta$$\theta$$\Theta$

...

Identyfikujemy próbkę z jej rozkładem empirycznym , ignorując sekwencję obserwacji (jak prawie zawsze się to robi). Formalnie jest wyrażony przez gdzie , masa pkt 1 . Jako estymatory bierzemy pod uwagę statystyki o wartościach rzeczywistych . W szerszym sensie estymator może być postrzegany jako sekwencja statystyk , po jednej dla każdej możliwej wielkości próby . Idealnie, obserwacje są przedstawione zgodnie z członkiem modelu parametrycznego $(X_1,\ldots,X_n)$$G_n$$G_n$$(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$$\Delta_{X}$$X$$\theta$$T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$$\{T_n,n\geq 1\}$$n$$\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , ale klasa wszystkich możliwych rozkładów prawdopodobieństwa na jest znacznie większa.$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

Rozważamy estymatory, które są funkcjonałami [tj. dla wszystkich i ] lub mogą być asymptotycznie zastąpione funkcjami. Oznacza to, że zakładamy, że istnieje funkcjonalny [gdzie domena jest zbiorem wszystkich dystrybucji dla którego zdefiniowano ], tak że prawdopodobne, gdy obserwacje są zgodne z rzeczywistym rozkładem w . Mówimy, że$T_n(G_n)=T(G_n)$$n$$G_n$$T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$$T$$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$T$

$$T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$$ $G$$\mbox{domain}(T)$$T(G)$jest asymptotyczna wartość o .$\{T_n;n\geq 1\}$$G$

...

W tym rozdziale zawsze zakładamy, że badane funkcjonały są spójne z Fisherem (Kallianpur i Rao, 1955): co oznacza, że model estymatora asymptotycznie mierzy odpowiednią ilość. Pojęcie spójności Fishera jest bardziej odpowiednie i eleganckie dla funkcjonałów niż zwykła spójność lub asymptotyczna bezstronność.

$$T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$$ $\{T_n;n\geq 1\}$

W starszych książkach statystycznych użyto „niezmiennika” w nieco inny sposób niż można by się spodziewać; niejednoznaczna terminologia się utrzymuje. Nowocześniejszym odpowiednikiem jest „ekwiwariant” (patrz odniesienia na końcu tego postu). W obecnym kontekście oznacza to

dla wszystkich prawdziwych .$c$

Aby odpowiedzieć na to pytanie, załóżmy, że ma właściwość, która dla wystarczająco dużych , wszystkich rzeczywistych i wszystkich ,$T_n$$n$$c$$m \le \varepsilon^{*}n$

ilekroć różni się od najwyżej we współrzędnych co najwyżej .$\mathbf Y$$\mathbf{X}$$c$$m$

(Jest to warunek słabszy niż zakładano w definicji granicy podziału. W rzeczywistości wszystko, co naprawdę musimy założyć, to że gdy jest wystarczająco duże, wyrażenie „ ” ma pewną wartość gwarantowaną mniejszą niż )$n$$o(|c|)$$|c|/2$

Dowodem jest sprzeczność. Załóżmy odpowiednio, że ten jest również równoważny i załóżmy, że . Zatem dla odpowiednio dużego , jest liczbą całkowitą, dla której zarówno i . Dla dowolnych liczb rzeczywistych zdefiniuj$T_n$$\varepsilon^{*} \gt 1/2$$n$$m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$$m(n)/n \le \varepsilon^{*}$$(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$$a,b$

gdy istnieją 'S ' S. Zmieniając lub mniej współrzędnych, wnioskujemy oba$m(n)$ $a$$n-m(n)$ $b$$m(n)$

i

Dla zapewnia się nierówność trójkąta$c\gt 0$

Ścisła nierówność na przedostatniej linii jest zapewniona dla wystarczająco dużego . Sprzeczność, którą implikuje, , dowodzi$n$$c \lt c$$\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Bibliografia

EL Lehmann, Teoria szacowania punktów . John Wiley 1983.

W tekście (rozdział 3, sekcja 1) i towarzyszącym przypisie pisze Lehmann

Estymator spełniający dla wszystkich będzie nazywany ekwiwariantem ...$\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$$a$

Niektórzy autorzy nazywają takie estymatory „niezmiennikiem”. Ponieważ sugeruje to, że estymator pozostaje niezmieniony pod , wydaje , że lepiej zarezerwować ten termin dla funkcji spełniających dla wszystkich .$X_i^\prime = X_i+a$$u(x+a)=u(x)$$x,a$