Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa

Żywotność 3 elementów elektronicznych wynosi a . Zmienne losowe modelowano jako losową próbkę wielkości 3 z rozkładu wykładniczego z parametrem . Funkcja prawdopodobieństwa wynosi dla$X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$$X_{3} = 2.1$$\theta$$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , gdzie .$x = (2, 1.5, 2.1)$

Następnie problem przechodzi do ustalenia MLE przez znalezienie wartości która maksymalizuje . Moje pytanie brzmi: jak określić funkcję wiarygodności? Przejrzałem pdf rozkładu wykładniczego, ale jest inny. Czy funkcja prawdopodobieństwa jest mi zawsze podawana w problemie? Czy też muszę to sam ustalić? Jeśli tak to jak?$\theta$$log f_{3}(x|\theta)$

Funkcja prawdopodobieństwa próbki, to łączna gęstość zaangażowanych zmiennych losowych, ale postrzegana jako funkcja nieznanych parametrów, biorąc pod uwagę konkretną próbę realizacji z tych zmiennych losowych.

W twoim przypadku wydaje się, że zakłada się tutaj, że okres użytkowania tych elementów elektronicznych następuje (tj. Ma rozkład krańcowy), rozkład wykładniczy z identycznym parametrem szybkości$\theta$, a więc krańcowy plik PDF to:

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

Wydaje się również, że życie każdego elementu jest w pełni niezależne od życia pozostałych. W takim przypadku funkcja gęstości złącza jest iloczynem trzech gęstości,

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

Aby przekształcić to w funkcję prawdopodobieństwa próbki, widzimy to jako funkcję $\theta$ biorąc pod uwagę konkretną próbkę $x_i$„s.

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

gdzie zmieniła się tylko lewa strona, aby wskazać, co jest uważane za zmienną funkcji. W twoim przypadku dostępna próbka to trzy zaobserwowane okresy życia$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$, a więc $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$. Zatem prawdopodobieństwo jest

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

Innymi słowy, zgodnie z podanym prawdopodobieństwem została już wstawiona konkretna dostępna próbka. Zwykle nie robi się tego, tzn. Zwykle „zatrzymujemy się” na teoretycznym przedstawieniu prawdopodobieństwa dla ogółu$x_i$następnie określamy warunki jego maksymalizacji w odniesieniu do $\theta$, a następnie podłączamy do warunków maksymalizacji konkretną próbkę numeryczną $x$-wartości, w celu uzyskania konkretnego oszacowania dla $\theta$.

Trzeba jednak przyznać, że takie prawdopodobieństwo może wyjaśnić fakt, że w przypadku wnioskowania (dla konkretnego założenia dystrybucyjnego) liczy się suma realizacji, a nie ich indywidualnych wartości: powyższe prawdopodobieństwo nie jest „próbką” -specyficzne ”, ale raczej„ specyficzne dla sumy realizacji ”: jeśli otrzymamy jakieś inne$n=3$ próbka, dla której suma jej elementów jest ponownie $6.6$, uzyskamy ten sam szacunek dla $\theta$ (to w gruncie rzeczy to znaczy $\sum x$ jest „wystarczającą” statystyką - zawiera wszystkie informacje, które próbka może dostarczyć do wnioskowania, zgodnie ze szczególnym założeniem dystrybucyjnym).