Wybór kolumny nie ma znaczenia: wynikowy rozkład na specjalnych macierzach ortogonalnych, SO(n) , jest nadal jednolity.
Wyjaśnię to, używając argumentu, który w oczywisty sposób rozciąga się na wiele powiązanych pytań dotyczących jednolitego generowania elementów grup. Każdy krok tego argumentu jest trywialny i wymaga jedynie odniesienia do odpowiednich definicji lub prostego obliczenia (takiego jak zauważenie, że macierz I1 jest ortogonalna i odwrotna do siebie).
Argumentem jest uogólnienie znanej sytuacji. Rozważmy zadanie rysunek dodatnich liczb rzeczywistych według określonego rozkładu ciągłego . Można tego dokonać, rysując dowolną liczbę rzeczywistą z ciągłego rozkładu i negując wynik, jeśli to konieczne, aby zagwarantować dodatnią wartość (prawie na pewno). Aby proces ten miał rozkład , musi mieć tę właściwośćFGFG
G(x)−G(−x)=F(x).
Najprostszym sposobem na osiągnięcie tego jest, gdy jest symetryczne wokół więc , pociągając za sobą : wszystkie prawdopodobieństwa dodatnie gęstości są po prostu podwojone, a wszystkie negatywne wyniki są eliminowane. Znajomy związek między rozkładem półnormalnym ( ) a rozkładem normalnym ( ) jest tego rodzaju.G0G(x)−1/2=1/2−G(−x)F(x)=2G(x)−1FG
Poniżej grupa odgrywa rolę niezerowych liczb rzeczywistych (uważanych za grupę multiplikatywną ), a jej podgrupa odgrywa rolę dodatnich liczb rzeczywistych . Miara Haar jest niezmienna pod negacją, więc kiedy jest „złożona” z do , rozkład wartości dodatnich nie zmienia się . (Miary tej niestety nie można znormalizować do miary prawdopodobieństwa - ale to jedyny sposób, w jaki analogia się załamuje).O(n)SO(n)R+dx/xR−{0}R+
Negowanie określonej kolumny macierzy ortogonalnej (gdy jej wyznacznik jest ujemny) jest analogią do negowania ujemnej liczby rzeczywistej w celu złożenia jej w dodatnią podgrupę. Mówiąc bardziej ogólnie, można wcześniej wybrać dowolną macierz ortogonalną o ujemnym wyznaczniku i użyć jej zamiast : wyniki byłyby takie same.JI1
Chociaż pytanie jest sformułowane w kategoriach generowania zmiennych losowych, tak naprawdę pyta o rozkłady prawdopodobieństwa w grupach macierzy i . Połączenie między tymi grupami opisano w kategoriach macierzy ortogonalnejO(n,R)=O(n)SO(n,R)=SO(n)
I1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜−10⋮001⋮000⋮0…………0001⎞⎠⎟⎟⎟⎟
ponieważ negowanie pierwszej kolumny macierzy ortogonalnej oznacza mnożenie w prawo przez . Zauważ, że i to połączenie rozłączneXXI1SO(n)⊂O(n)O(n)
O(n)=SO(n)∪SO(n)I−11.
Biorąc pod uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa zdefiniowaną na , proces opisany w pytaniu określa mapę(O(n),S,P)O(n)
f:O(n)→SO(n)
przez ustawienie
f(X)=X
kiedy iX∈SO(n)
f(X)=XI1
for .X∈SO(n)I1−1
Pytanie dotyczy wygenerowania losowych elementów w poprzez uzyskanie losowych elementów : to znaczy przez „popchnięcie ich do przodu” za pomocą aby uzyskać . Funkcja przekazywania do przodu tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa zSO(n)ω∈O(n)ff∗ω=f(ω)∈SO(n)(SO(n),S′,P′)
S′=f∗S={f(E)|E⊂S}
i
P′(E)=(f∗P)(E)=P(f−1(E))=P(E∪EI1)
dla wszystkich .E⊂S′
Zakładając, że właściwe mnożenie przez zachowuje miarę, i zauważając, że w każdym przypadku , natychmiast by to oznaczało, że dla wszystkich ,I1E∩EI1=∅E∈S′
P′(E)=P(E∪EI−11)=P(E)+P(EI−11)=2P(E).
W szczególności, gdy jest niezmienny przy mnożeniu przez prawo w (co zwykle oznacza „jednolity”), oczywistym faktem jest, że i jego odwrotność (co się zdarza, że jest równe sama) są oba ortogonalne, co oznacza powyższe, co pokazuje, że jest również jednolity. Dlatego nie trzeba wybierać losowej kolumny do negacji.PO(n)I1I1P′
The question is concerned about generating
samego początku trudno mi było popchnąć mnie do przodu poprzez symbolikę. Czy mógłbyś streścić rozumowanie słowami , dla wcześniejszego laika, proszę?