Wprowadzenie do modeli graficznych opisuje je jako „... połączenie teorii grafów z teorią prawdopodobieństwa”.
Rozumiem część teorii prawdopodobieństwa, ale mam problem ze zrozumieniem, gdzie dokładnie pasuje teoria grafów. Jakie spostrzeżenia z teorii grafów pomogły nam pogłębić nasze rozumienie rozkładów prawdopodobieństwa i podejmowania decyzji w warunkach niepewności?
Szukam konkretnych przykładów poza oczywistym zastosowaniem terminologii teoretycznej grafów w PGM, takich jak klasyfikowanie PGM jako „drzewa” lub „dwustronnego” lub „nieukierowanego” itp.
Przeprowadzono pewne prace nad związkiem między łatwością dekodowania kodów kontroli parzystości o niskiej gęstości (która osiąga doskonałe wyniki, gdy uważa się, że jest to wykres probablistyczny i stosuje propagację Loopy Belief Propagation), a obwodem wykresu utworzonym przez macierz kontroli parzystości . Ten link do obwodu pochodzi z czasów, gdy wynaleziono LDPC [1], ale w ostatnim dziesięcioleciu były dalsze prace [2] [3] po tym, jak Mackay i wsp. [4] odkryli je osobno, a ich właściwości zostały zauważone .
Często widzę komentarz Pearl'a na temat czasu konwergencji propagacji przekonań w zależności od cytowanej średnicy wykresu. Ale nie znam żadnej pracy dotyczącej średnic grafów w grafach innych niż drzewne i jaki to ma efekt.
źródło
Jednym z udanych zastosowań algorytmów grafowych w probabilistycznych modelach graficznych jest algorytm Chow-Liu . Rozwiązuje problem znalezienia optymalnej (graficznej) struktury grafu i opiera się na algorytmie maksymalnych drzew opinających (MST).
Wspólne prawdopodobieństwo dla drzewiastego modelu graficznego można zapisać jako: Możemy zapisać znormalizowane prawdopodobieństwo dziennika w następujący sposób: gdzie to wzajemna informacja między i biorąc pod uwagę empiryczne maksymalne prawdopodobieństwo (ML) rozkład, który zlicza ile razy węzeł był w stanie . Ponieważ pierwszy termin jest niezależny od topologii
Prawdopodobieństwo dziennika jest zmaksymalizowane poprzez obliczenie maksymalnego drzewa rozpinającego wagę, gdzie wagi krawędzi są parami wzajemnych informacji . Maksymalna waga obejmujące drzewo można znaleźć za pomocą Algorytm Prima i Algorytm Kruskala .I(xs;xt|θst)
źródło