Chciałbym zasymulować proces wycieczki Browna (ruch Browna, który jest warunkowany, zawsze jest dodatni, gdy do przy ). Ponieważ proces wycieczki Browna jest mostem Browna, który jest uwarunkowany, aby zawsze był dodatni, miałem nadzieję symulować ruch wycieczki Browna za pomocą mostu Browna.0 t = 1
W R używam pakietu „e1017” do symulacji procesu mostu Browna. Jak mogę użyć tego procesu mostu Browna, aby utworzyć wycieczkę Browna?
Odpowiedzi:
Wycieczka Browna może być zbudowana z mostu przy użyciu następującej konstrukcji Vervaat: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155
Szybkie przybliżenie w R przy użyciu kodu BB @ whubera to
Oto kolejna fabuła (z set.seed (21)). Kluczową obserwacją podczas wycieczki jest to, że uwarunkowanie faktycznie manifestuje się jako „odpychanie” od 0, i jest mało prawdopodobne, aby wycieczka zbliżyła się do wewnątrz ( 0 , 1 ) .0 ( 0 , 1 )
Poza tym: rozkład wartości bezwzględnej mostu Browna i wycieczka, ( B B t ) 0 ≤ t ≤ 1 uwarunkowane jako dodatnie , nie są takie same. Intuicyjnie wycieczka jest odpychana od źródła, ponieważ ścieżki Browna, które znajdują się zbyt blisko źródła, prawdopodobnie wkrótce staną się ujemne, a zatem będą karane przez warunkowanie.( | B Bt| )0 ≤ t ≤ 1 ( B Bt)0 ≤ t ≤ 1
Można to zilustrować prostym pomostem i wycieczką na stopniach, który jest naturalnym dyskretnym analogiem BM (i zbiega się w BM, gdy kroki stają się duże i przeskalujesz).6
Rzeczywiście, weź symetryczny SRW, zaczynając od . Najpierw zastanówmy się nad warunkowaniem „pomostowym” i zobaczmy, co się stanie, jeśli weźmiemy wartość bezwzględną. Rozważyć wszystkie prostych ścieżek s o długości 6 , które zaczynają się i kończą w 0 . Liczba takich ścieżek wynosi . Są z nich, dla których . Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna naszego „mostka” SRW (uwarunkowanego zakończeniem na ) będzie miała wartość 0 na etapie wynosi .0 s 6 0 2× ( 4( 63)) =20 | s2| =00212/20=0,62 × ( 42)) =12 | s2)| =0 0 2) 12 / 20 = 0,6
Po drugie, rozważymy uwarunkowanie „wycieczki”. Liczba nieujemna prostych odcinków o długości , które kończą się w jest liczbą kataloński . Dokładnie z tych ścieżek mają . Zatem prawdopodobieństwo, że nasza „wycieczka” SRW (uwarunkowana pozostanie dodatnia i zakończy się na ) o wartości 0 w kroku wynosi .6 = 2 ∗ 3 0 C m = 3 = ( 2 ms 6=2∗3 0 2s2=0022/5=0,4<0,6dom = 3= ( 2 mm) /(m+1)=5 2) s2)= 0 0 2) 2 / 5 = 0,4 < 0,6
Jeśli nadal masz wątpliwości, że zjawisko to utrzymuje się w granicach, możesz rozważyć prawdopodobieństwo dla mostów SRW i skoków długości uderzających 0 w kroku .2 n4 n 2 n
Na wycieczkę SRW: mamy przy użyciu aysmptotics z wikipedii https://en.wikipedia.org/wiki / Catalan_number . To znaczy, że w końcu jest jak .Cn - 3 / 2
Dla abs (most SRW): przy użyciu asymptotyków z wikipedii https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient . To jest jak .Cn - 1 / 2
Innymi słowy, asymptotyczne prawdopodobieństwo zobaczenia warunku SRW dodatniego przy pobliżu środka jest znacznie mniejsze niż dla wartości bezwzględnej mostu.0
Oto alternatywna konstrukcja oparta na procesie 3D Bessela zamiast mostu Browna. Korzystam z faktów wyjaśnionych w https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524
Omówienie - 1) Symuluj proces 3d Bessela. To jest jak BM uwarunkowane byciem pozytywnym. 2) Zastosuj odpowiednie przeskalowanie czasoprzestrzeni w celu uzyskania mostu Bessela 3 (równanie (2) w pracy). 3) Wykorzystaj fakt (zauważony tuż po Twierdzeniu 1 w pracy), że most Bessel 3 ma faktycznie taki sam rozkład jak wycieczka Browna.
Nieznaczną wadą jest to, że trzeba uruchomić proces Bessela przez dość długi czas (T = 100 poniżej) na stosunkowo drobnej siatce, aby skalowanie czasoprzestrzeni zaczęło się na końcu.
Oto wynik:
źródło
Odbicie Zasada twierdzi
Wikipedia , dostęp 26.09.2017.
W związku z tym możemy symulować most Browna i odzwierciedlić go o wartości po prostu przyjmując jego wartość bezwzględną. Most Browna jest symulowany przez odjęcie trendu od punktu początkowego do końca od samego ruchu Browna . (Bez utraty ogólności możemy mierzyć czas w jednostkach, które sprawiają, że Zatem w czasie po prostu odejmij od .)a = 0 ( 0 , 0 ) ( T, B ( T) ) b T.= 1 t B ( T) t B ( t )
Tę samą procedurę można zastosować, aby wyświetlić ruch Browna pod warunkiem nie tylko powrotu do określonej wartości w czasie (wartość wynosi dla mostka), ale także pozostania między dwiema granicami (które koniecznie obejmują wartość początkową od w czasie i określonej wartości końcowej).T.> 0 0 0 0
Ten ruch Browna zaczyna się i kończy na wartości zero: jest to Most Browna.
Czerwony wykres to wycieczka Browna opracowana na podstawie poprzedniego mostu Browna: wszystkie jej wartości są nieujemne. Niebieski wykres opracowano w ten sam sposób, odzwierciedlając most Browna między kropkowanymi liniami za każdym razem, gdy je napotyka. Szary wykres pokazuje oryginalny most Browna.
Obliczenia są proste i szybkie: podziel zestaw czasów na małe interwały, wygeneruj niezależne, identycznie rozmieszczone normalne przyrosty dla każdego interwału, kumuluj je, odejmuj trend i wykonuj potrzebne refleksje.
Oto
R
kod. W nimW
jest oryginalny ruch Browna,B
jest most Browna iB2
jest ograniczony między dwiema określonymi wartościamiymin
(nie dodatnimi) iymax
(nieujemnymi). Jego technika wykonywania odbicia przy użyciu%%
operatora modułu i minimum komponentowegopmin
może być praktyczna.źródło
abs(B)
. Pamiętaj, że ma to być ruch Browna uwarunkowany dwoma ograniczeniami: jest równytarget
czasowi i wszędzie jest nieujemny.Możesz użyć metody odrzucenia: symuluj mosty Browna i zachowaj te pozytywne. To działa.
Ale. Jest bardzo powolny, ponieważ wiele przykładowych trajektorii jest odrzucanych. Im większa ustawiona „częstotliwość”, tym mniejsze prawdopodobieństwo znalezienia trajektorii.
Możesz to przyspieszyć, utrzymując również negatywne trajektorie.
źródło