Plik pdf

15

Załóżmy że będzie oznaczony jako z nieznanym μ R i σ 2 > 0X1,X2,...,XnN(μ,σ2)μRσ2>0

Niech Z=X1X¯S,S jest tutaj odchyleniem standardowym.

Można wykazać, że Z ma pdf Lebesgue

f(z)=nΓ(n12)π(n1)Γ(n22)[1nz2(n1)2]n/22I(0,(n1)/n)(|Z|)

Moje pytanie brzmi: jak zdobyć ten plik pdf?

Pytanie znajduje się tutaj w przykładzie 3.3.4, aby znaleźć UMVUE dla P(X1c) . Rozumiem logikę i procedury wyszukiwania UMVUE, ale nie wiem, jak uzyskać plik pdf.

Myślę, że kwestia ta odnosi się także do tego jednego

Bardzo dziękuję za pomoc lub wskaż wszelkie powiązane odniesienia zostaną również wykorzystane.

Głęboka północ
źródło

Odpowiedzi:

14

Intrygujący w tym wyniku jest to, jak bardzo wygląda rozkład współczynnika korelacji. Jest powód.


Załóżmy, że (X,Y) jest dwuwymiarową normalną z zerową korelacją i wspólną wariancją σ2 dla obu zmiennych. Narysuj próbkę (x1,y1),,(xn,yn) . Jest dobrze znane i łatwo ustalone geometrycznie (tak jak Fisher sto lat temu), żerozkład współczynnika korelacji próbki

r=i=1n(xix¯)(yiy¯)(n1)SxSy

jest

f(r)=1B(12,n21)(1r2)n/22, 1r1.

(Tutaj, jak zwykle, i ˉ y są średnimi próbki, a S x i S y są pierwiastkami kwadratowymi obiektywnych estymatorów wariancji.) x¯y¯SxSy jestfunkcją Beta, dla którejB

(1)1B(12,n21)=Γ(n12)Γ(12)Γ(n21)=Γ(n12)πΓ(n21).

Aby obliczyć , możemy wykorzystać jego niezmienność przy rotacjach w R n wokół linii generowanej przez ( 1 , 1 , , 1 ) , wraz z niezmienniczością rozkładu próbki przy tych samych obrotach, i wybrać y i / S y to dowolny wektor jednostkowy, którego składniki sumują się do zera. Jeden taki wektor jest proporcjonalny do v = ( n - 1 , - 1 , ,rRn(1,1,,1)yi/Sy . Jego standardowe odchylenie wynosiv=(n1,1,,1)

Sv=1n1((n1)2+(1)2++(1)2)=n.

W związku z tym musi mieć taki sam rozkład jakr

i=1n(xix¯)(viv¯)(n1)SxSv=(n1)x1x2xn(n1)Sxn=n(x1x¯)(n1)Sxn=nn1Z.

Therefore all we need to is rescale r to find the distribution of Z:

fZ(z)=|nn1|f(nn1z)=1B(12,n21)nn1(1n(n1)2z2)n/22

for |z|n1n. Formula (1) shows this is identical to that of the question.


Not entirely convinced? Here is the result of simulating this situation 100,000 times (with n=4, where the distribution is uniform).

Figure

Pierwszy histogram przedstawia współczynniki korelacji natomiast drugi histogram przedstawia współczynniki korelacji ( x i , v i ) , i = 1 , , 4 ) dla losowo wybrany wektor v i, który pozostaje stały dla wszystkich iteracji. Oba są jednolite. Wykres QQ po prawej stronie potwierdza, że ​​te rozkłady są zasadniczo identyczne.(xi,yi),i=1,,4(xi,vi),i=1,,4) vi

Oto Rkod, który wytworzył fabułę.

n <- 4
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
par(mfrow=c(1,3))
#
# Simulate spherical bivariate normal samples of size n each.
#
x <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
y <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` and `y`.
#
sim <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], y[,i]))
hist(sim)
#
# Specify *any* fixed vector in place of `y`.
#
v <- c(n-1, rep(-1, n-1)) # The case in question
v <- rnorm(n)             # Can use anything you want
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` with `v`.
#
sim2 <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], v))
hist(sim2)
#
# Compare the two distributions.
#
qqplot(sim, sim2, main="QQ Plot")

Odniesienie

R. A. Fisher, Frequency-distribution of the values of the correlation coefficient in samples from an indefinitely large population. Biometrika, 10, 507. See Section 3. (Quoted in Kendall's Advanced Theory of Statistics, 5th Ed., section 16.24.)

whuber
źródło
The link to the reference is broken.
Sextus Empiricus
@Martijn Thank you for checking. I see what you mean--the link works, but it doesn't go to anything relevant! I have fixed it up.
whuber
4

I'd like to suggest this way to get the pdf of Z by directly calculating the MVUE of P(Xc) using Bayes' theorem although it's handful and complex.

Since E[I(,c)(X1)]=P(X1c) and Z1=X¯, Z2=S2 are joint complete sufficient statistic, MVUE of P(Xc) would be like this:

ψ(z1,z2)=E[I(,c)(X1)|z1,z2]=I(,c)fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)dx1

Now using Bayes' theorem, we get

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)fX1(x1)fZ1,Z2(z1,z2)

The denominator fZ1,Z2(z1,z2)=fZ1(z1)fZ2(z2) can be written in closed form because Z1N(μ,σ2n), Z2Γ(n12,2σ2n1) are independent of each other.

To get the closed form of numerator, we can adopt these statistics:

W1=i=2nXin1
W2=i=2nXi2(n1)W12(n1)1

which is the mean and the sample variance of X2,X3,...,Xn and they are independent of each other and also independent of X1. We can express these in terms of Z1,Z2.

W1=nZ1X1n1, W2=(n1)Z2+nZ12X12(n1)W12n2

We can use transformation while X1=x1,

fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)=nn2fW1,W2(w1,w2)=nn2fW1(w1)fW2(w2)

Since W1N(μ,σ2n1), W2Γ(n22,2σ2n2) we can get the closed form of this. Note that this holds only for w20 which restricts x1 to z1n1nz2x1z1+n1nz2.

So put them all together, exponential terms would disappear and you'd get,

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)nz2(n1)(1(n(x1z1)z2(n1))2)
where z1n1nz2x1z1+n1nz2 and zero elsewhere.

From this,at this point, we can get the pdf of Z=X1z1z2 using transformation.

By the way, the MVUE would be like this :

ψ(z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)π2θccosn3θdθ
while θc=sin1(n(cz1)(n1)z1) and would be 1 if cz1+n1nz2

I am not a native English speaker and there could be some awkward sentences. I am studying statistics by myself with text book introduction to mathmatical statistics by Hogg. So there could be some grammatical or mathmatical conceptual mistakes. It would be appreciated if someone correct them.

Thank you for reading.

KDG
źródło