Są kontury

Zakładam, że ogólna konfiguracja regresji, czyli ciągła funkcja jest wybierana z rodziny celu dopasowania danych ( może być dowolną przestrzenią, taką jak sześcian lub faktycznie dowolną rozsądną przestrzenią topologiczną) zgodnie z niektórymi naturalnymi kryteriami. $h_\theta:X\to \mathbb R^n$ $\{h_\theta\}_\theta$ $(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$ $X$ $[0,1]^m$

Czy istnieją zastosowania regresji, w których zainteresowany jest kontur? $h^{-1}(y)$ z $h$ do pewnego momentu $y\in \mathbb R^n$ - na przykład zestaw zerowy $h^{-1}(0)$ ?

Wyjaśnienie mojego zainteresowania jest następujące: Ponieważ w wielu sytuacjach uczeni są niepewni $h_\theta$ (niedokładność lub brak danych), warto przeanalizować zestaw zerowy $h^{-1}(0)$ "mocno". Mianowicie, zbadaj cechy zestawu zerowego, które są wspólne dla wszystkich „zaburzeń” $h$ . Niedawno opracowano bardzo dobre zrozumienie w bardzo ogólnym otoczeniu, w którym występują zaburzenia $f$ mogą być dowolnymi ciągłymi mapami w pobliżu $h$ w $\ell_\infty$ norma. Lub w zasadzie równoważnie $f$ jest arbitralne ciągłe, że dla każdego $x\in X$ mamy $|f(x)-h(x)|\le c(x)$ gdzie $c:X\to\mathbb R$ daje każdemu pewną wartość pewności $x$ .

Naszą główną motywacją do opracowania teorii i algorytmów była ekscytująca matematyka (zasadniczo wszystkie problemy / pytania sprowadzają się do teorii homotopii). Jednak na obecnym etapie, w celu dalszego rozwoju i implementacji algorytmów, musimy wybrać bardziej szczegółowe ustawienia i cele.

regression machine-learning multiple-regression Marek Krcal
źródło

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ daje nam informacje o

x_{i}

$x_i$ . Zwykle, jeśli jesteśmy zainteresowani

x_{i}

$x_i$ modelujemy je, tzn. budujemy model gdzie

x_{i}

$x_i$ są zmiennymi zależnymi. Rozumiem przez to statystyki, z którymi się spotkałem. Byłbym ciekawy, gdyby ktoś wykazał taką analizę

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ jest w ogóle interesujące. Dla prostej regresji liniowej gdzie

h (x) = α + x β

$h(x)= \alpha+x\beta$ mamy

h^{- 1} (0) = \frac{- α}{β}

$h^{-1}(0)=\frac{-\alpha}{\beta}$ , o których znaczeniu staram się przypomnieć. Chciałbym, aby udowodniono inaczej, wydaje się, że to, co robisz, jest dość interesujące.

mpiktas,

@mpiktas Dziękujemy za uwagę. Myśleliśmy o przypadkach, w których

h_{θ}

$h_θ$ jest nieliniowy w

x_{i}

$x_i$ (na przykład regresja za pomocą losowych pól Gaussa, takich jak w rozdziale 2 łącza poniżej), gdzie analiza

h^{- 1} (0)

$h^{−1}(0)$ byłoby znacznie mniej banalne. gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf

Peter Franek

Przepraszam, że grałem w adwokata diabła, ale przeczytałem ten rozdział, ale wciąż nie rozumiem, dlaczego

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ byłoby ważne. Nietrywialne tak, ale przydatne, nie. Byłbym jednak szczęśliwy, gdyby udowodniono inaczej.

mpiktas

Odpowiedzi:

Ekonomiści często są tym zainteresowani. Często oceniamy funkcje użytkowe konsumentów $u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ , w której domena opisuje, ile z każdego dobra konsumuje konsument, a zakres określa, jak „szczęśliwy” jest pakiet konsumpcyjny. Zestawy poziomów funkcji narzędziowych nazywamy „krzywymi obojętności”. Często szacujemy funkcje kosztów firm $c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$ , gdzie dwie części domeny to ilości każdej produkcji, którą produkuje firma, oraz ceny każdej produkcji, którą firma wykorzystuje do produkcji. Zestawy poziomów $c$ nazywane są krzywymi izo-kosztów.

Najczęściej właściwości zestawów poziomów, którymi jesteśmy zainteresowani, to nachylenie granic. Nachylenie krzywej obojętności pokazuje, przy jakim tempie konsumenci wymieniają różne towary: „Ile moreli zechciałbyś zrezygnować z jeszcze jednego jabłka?” Nachylenie krzywej izo-kosztowej mówi (w zależności od części domeny), w jaki sposób można wytwarzać różne produkty wyjściowe (przy takim samym koszcie, jeśli wyprodukowałbyś 10 mniej ostrzy, to ile jeszcze pinów możesz zrobić) , czyli jak różne zastępowalne dane wejściowe.

Ekonomiści mają obsesję na punkcie proporcji pierwszych częściowych instrumentów pochodnych, ponieważ mamy obsesję na punkcie kompromisów. Sądzę, że można je (zawsze?) Traktować jako zbocza granic zestawów poziomów.

Innym zastosowaniem jest obliczanie równowagi ekonomicznej. Najprostszym przykładem jest system podaży i popytu. Krzywa podaży pokazuje, ile producenci są skłonni dostarczyć za każdą cenę: $q=s(p)$ . Krzywa popytu pokazuje, ile konsumenci są skłonni zażądać przy każdej cenie: $q=d(p)$ . Weź dowolną cenę, $p$ i zdefiniuj nadwyżkę popytu jako $e(p)=d(p)-s(p)$ . Ceny równowagi są $e^{-1}(0)$ --- tj. są to ceny, po których rynki są czyste. $q$ i $p$ mogą być wektorami i $d$ i $s$ są zwykle nieliniowe.

To, co opisuję w poprzednim akapicie (popyt i podaż) jest tylko przykładem. Ogólna konfiguracja jest niezwykle powszechna. W teorii gier być może jesteśmy zainteresowani obliczeniem Nash Equilibria gry. Aby to zrobić, zdefiniuj dla gracza $i$ , funkcja (funkcja najlepszej odpowiedzi), która podaje najlepszą strategię jako zasięg i jakie strategie grają wszyscy inni gracze jako domena: $s_i=br(s^{-i})$ . Połącz je wszystkie w wektorową funkcję najlepszej odpowiedzi: $s=BR(s)$ . Gdyby $s$ można przedstawić jako liczby rzeczywiste, a następnie można zdefiniować funkcję określającą odległość od równowagi: $d(s)=BR(s)-s$ . Następnie $d^{-1}(0)$ jest zbiorem równowag gry.

To, czy ekonomiści zwykle oceniają te związki z regresją, zależy od tego, jak szeroka jest twoja definicja regresji. Zwykle stosujemy regresję zmiennych instrumentalnych. Ponadto, w przypadku funkcji użyteczności, użyteczność nie jest obserwowana, dlatego mamy różne metody zmiennych ukrytych do ich oszacowania.

Rachunek
źródło