Niech i , . Czego oczekuje jako ?
mathematical-statistics
random-variable
expected-value
używane przez kogo
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Odpowiedź rzeczywiście brzmi ,1/e jak przypuszczano we wcześniejszych odpowiedziach opartych na symulacjach i skończonych przybliżeniach.
Rozwiązanie można łatwo znaleźć, wprowadzając sekwencję funkcji . Chociaż moglibyśmy natychmiast przejść do tego kroku, może się to wydawać dość tajemnicze. Pierwsza część tego rozwiązania wyjaśnia, w jaki sposób można ugotować te f n ( t ) . Druga część pokazuje, w jaki sposób są one wykorzystywane do znalezienia równania funkcjonalnego spełnianego przez funkcję ograniczającą f ( t ) = lim n → ∞ f n ( t )fn:[0,1]→[0,1] fn(t) fa( t ) = limn → ∞fan( t ) . Trzecia część zawiera (rutynowe) obliczenia potrzebne do rozwiązania tego równania funkcjonalnego.
1. Motywacja
Możemy do tego dojść poprzez zastosowanie standardowych matematycznych technik rozwiązywania problemów. W takim przypadku, gdy jakiś rodzaj operacji powtarza się w nieskończoność, limit będzie istniał jako stały punkt tej operacji. Kluczem jest zatem identyfikacja operacji.
Trudność polega na tym, że przejście z do E [ X 1 X 2 ⋯ X n - 1 X n ] wygląda na skomplikowane. Łatwiej jest zobaczyć ten krok jako wynikający z przylegania do zmiennych niż do przylegania do zmiennych . Gdybyśmy mieli rozważyćmi[ X1X2)⋯ Xn - 1] mi[ X1X2)⋯ Xn - 1Xn] X1 X n ( X 1 , X 2 , … , X n - 1 ) ( X 2 , … , X n ) X 2 [ 0 , 1 ] X 3 [ X 2 , 1 ] X 1 X i 1 - X 1 1( X2), … , Xn) Xn ( X1, X2), … , Xn - 1) ( X2), … , Xn) jako skonstruowano w sposób opisany w pytaniu - z równomiernie rozmieszczone na , warunkowo równomiernie rozmieszczone na , i tak dalej - następnie wprowadzenie spowoduje każdy z kolejnych się kurczyć współczynnik kierunku górnej granicy . To rozumowanie prowadzi naturalnie do następującej konstrukcji.X2) [ 0 , 1 ] X3) [ X2), 1 ] X1 Xja 1 - X1 1
Na wstępie, ponieważ nieco łatwiej jest zmniejszyć liczby do niż do , niech . Zatem jest równomiernie rozłożone w a jest równomiernie rozłożone w warunkiem dla wszystkich1 Y i = 1 - X i Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 [ 0 , Y i ] ( Y 1 , Y 2 , … , Y i )0 1 Yja= 1 - Xja Y1 [ 0 , 1 ] Yi + 1 [ 0 , Yja] ( Y1, Y2), … , Yja) Interesują nas dwie rzeczy:i=1,2,3,….
Wartość graniczna .E[X1X2⋯Xn]=E[(1−Y1)(1−Y2)⋯(1−Yn) ]
Jak zachowują się te wartości podczas równomiernego zmniejszania wszystkich kierunku 0 : to znaczy, skalując je wszystkie za pomocą pewnego wspólnego współczynnika t , 0 ≤ t ≤ 1 .Yja 0 t 0≤t≤1
W tym celu zdefiniuj
Oczywiście każda jest zdefiniowana i ciągła (w rzeczywistości nieskończenie różniczkowa) dla wszystkich rzeczywistych . Skoncentrujemy się na ich zachowaniu dla .fn t ∈ [ 0 , 1 ]t t∈[0,1]
2. Kluczowy krok
Oczywiste są następujące:
Każda jest funkcją monotonicznie malejącą od do .[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]fn(t) [0,1] [0,1]
nfn(t)>fn+1(t) dla wszystkich .n
dla wszystkich n .fn(0)=1 n
Te wskazują, że występuje dla wszystkich t ∈ [ 0 , 1 ] , a f ( 0 ) = 1 .f(t)=limn→∞fn(t) t∈[0,1] f(0)=1
Zauważ, że zależnie od zmienna Y 2 / Y 1 jest jednolita w [ 0 , 1 ], a zmienne Y i + 1 / Y 1 (zależne od wszystkich poprzednich zmiennych) są jednolite w [ 0 , Y i / Y 1 ] : to znaczy ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , … , Y nY1 Y2/Y1 [0,1] Yi+1/Y1 [0,Yi/Y1] dokładnie spełniają warunki spełnione przez ( Y 1 , … , Y n - 1 ) . (Y2/Y1,Y3/Y1,…,Yn/Y1) (Y1,…,Yn−1) w konsekwencji
Jest to relacja rekurencyjna, której szukaliśmy.
W granicach musi zatem być tak, że dla Y równomiernie rozmieszczone w [ 0 , 1 ] niezależnie od wszystkich Y i ,n→∞ Y [0,1] Yi
Oznacza to, że musi być stałym punktem funkcjonalnego L, dla któregof L
3. Obliczanie rozwiązania
Usuń frakcję , mnożąc obie strony przez t . Ponieważ prawa strona jest całką, możemy ją rozróżnić w odniesieniu do t , dawania1/t t t
Odpowiednio, po odjęciu i podzieleniu obu stron przez t ,f(t) t
dla . Możemy rozszerzyć to o ciągłość, aby uwzględnić t = 0 . Ze stanu początkowego (3) C ( 0 ) = 1 The unikalne rozwiązanie0<t≤1 t=0 f(0)=1
W związku z tym według (4) ograniczające oczekiwanie wynosi f ( 1 ) = e - 1 = 1 / e , QED.X1X2⋯Xn f(1)=e−1=1/e
Ponieważ Mathematica wydaje się być popularnym narzędziem do badania tego problemu, oto kod Mathematica do obliczania i kreślenia dla małych n . Wykres f 1 , f 2 , f 3 , f 4 pokazuje szybką zbieżność z e - t (pokazaną jako czarny wykres).fn n f1,f2,f3,f4 e−t
źródło
Aktualizacja
Myślę, że to bezpieczny zakład, że odpowiedź to . Sprawdziłem całki dla oczekiwanej wartości od n = 2 do n = 100 za pomocą Mathematica i przy n = 100 otrzymałem1/e n=2 n=100 n=100
(do 100 miejsc po przecinku). Odwrotność tej wartości jest
Różnica polega na tym, że wzajemność i sąe
Myślę, że to zbyt blisko, ośmielę się powiedzieć, aby być racjonalnym zbiegiem okoliczności.
Mathematica kod w następujący sposób:
Koniec aktualizacji
To bardziej rozszerzony komentarz niż odpowiedź.
Jeśli pójdziemy drogą brutalnej siły, określając oczekiwaną wartość dla kilku wartości , być może ktoś rozpozna wzór, a następnie będzie w stanie przekroczyć granicę.n
Dla mamy oczekiwaną wartość produktun=5
czyli 96547/259200 lub około 0,3724807098765432.
Jeśli upuszczymy całkę z 0 na 1, otrzymamy wielomian z następującymi wynikami dla n = 1 do n = 6 (i upuściłem indeks dolny, aby rzeczy były nieco łatwiejsze do odczytania):x1 n=1 n=6
Jeśli ktoś rozpozna postać współczynników całkowitych, być może może być określony limit (po wykonaniu całkowania od 0 do 1, który został usunięty, aby pokazać leżący u jego podstaw wielomian).n→∞
źródło
Fajne pytanie. Jako szybki komentarz chciałbym zauważyć, że:
JeśliZn=X1X2…Xn , to przez symulację Monte Carlo, jako n→∞ , E[Zn]≈0.367 .
Poniższy schemat porównuje symulowany pdf Monte CarloZn z rozkładem funkcji mocy [tj. Beta (a, 1) pdf)]
... tutaj z parametrema=0.57 :
(źródło: tri.org.au )
gdzie:
Dopasowanie wygląda całkiem nieźle.
Kod
Oto 1 milion pseudolosowych rysunków produktuZn (powiedzmy, że n=1000 ), tutaj za pomocą Mathematica :
Średnia próbki wynosi:
źródło
Czysto intuicyjnie i na podstawie innej odpowiedzi Rusty'ego myślę, że odpowiedź powinna być taka:
0.3583668
To tylko intuicja.
Problem z odpowiedzią Rusty polega na tym, że U [1] jest identyczny w każdej symulacji. Symulacje nie są niezależne. Naprawienie tego jest łatwe. Przesuń linię z
U[1] = runif(1,0,1)
do wewnątrz pierwszej pętli. Wynik to:To daje
0.3545284
.źródło