Rozkład ciągłego jednolitego RV, przy czym górna granica jest kolejnym ciągłym jednolitym RV

10

Jeśli i , to czy mogę powiedzieć, że $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Mówię o ciągłych rozkładach jednorodnych z limitami . Dowód (lub odrzucenie!) Zostanie doceniony. $[a, b]$

uniform distributions Blain Waan
źródło

6

Nie, nie jest. W R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))dość wyraźnie pokazuje, że

pewnością nie jest równomiernie rozmieszczone. (Publikuję to jako komentarz, ponieważ poprosiłeś o dowód, który nie powinien być trudny, ale szczerze mówiąc, biorąc pod uwagę wypaczony histogram, nie sądzę, aby dowód był konieczny ...)

Y

$Y$

Stephan Kolassa

1

Zmiana lokalizacji i skali powoduje, że

, w którym to przypadku dla dowolnej liczby

,

pod warunkiem, że

(w innym przypadku wynosi

). Użyj

, aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe.

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

whuber

13

Rozkład analityczny możemy uzyskać . Po pierwsze zauważ, że to $Y$ $Y|X$ który następuje po rozkładzie równomiernym, tj

fa (y | x) = U (za, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

a więc

\begin{aligned} fa (y) = \int_{- \infty}^{\infty} fa (y | x) fa (x) re x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - za} \frac{1}{b - za} re x \\ = \frac{1}{b - za} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - za} re x \\ = \frac{1}{b - za} [\log (b - za) - \log (y - za)], za < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

który nie jest równomiernym rozkładem ze względu na . Oto, jak wygląda symulowana gęstość dla rozkładu , nałożonego na to, co właśnie obliczyliśmy. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

JohnK
źródło

6

Absolutnie nie.

$a = 0, b = 1$ .

Następnie

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Z powodu ścisłej nierówności nie jest to możliwe $Y \sim$ Unif (0,1).

Cliff AB
źródło

Rozkład ciągłego jednolitego RV, przy czym górna granica jest kolejnym ciągłym jednolitym RV

Odpowiedzi: