Szacowanie średniej i odchylenia ściętej krzywej gaussa bez skoku

Załóżmy, że mam czarną skrzynkę, która generuje dane po rozkładzie normalnym ze średnią mi odchyleniem standardowym s. Załóżmy jednak, że ilekroć wypisze wartość <0, niczego nie rejestruje (nawet nie jest w stanie powiedzieć, że otrzymała taką wartość). Mamy ścięty rozkład gaussa bez kolca.

Jak mogę oszacować te parametry?

Model dla twoich danych to:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Zatem funkcja gęstości to:

gdzie,

jest standardowym normalnym cdf.$\phi(.)$

Następnie można oszacować parametry i σ, stosując metody największego prawdopodobieństwa lub metody bayesowskie.$\mu$$\sigma$

Jak zasugerował Srikant Vadali, Cohen i Hald rozwiązali ten problem za pomocą ML (z wyszukiwarką korzeni Newtona-Raphsona) około 1950 r. Kolejnym artykułem jest „Szacowanie w okrojonej normalnej dystrybucji” Maxa Halperina dostępne dla JSTOR (dla osób z dostępem). Googling „skrócone oszacowanie gaussowskie” produkuje wiele przydatnych wyglądów hitów.

Szczegółowe informacje znajdują się w wątku, który uogólnia to pytanie (ogólnie do skróconych dystrybucji). Zobacz estymatory największego prawdopodobieństwa dla skróconego rozkładu . Może to być również interesujące porównać estymatory największej prawdopodobieństwo do rozwiązania danego Maximum Entropy (z kodem) w Max Entropy Solver w badania .

$a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. $\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. $TB=a=0$$\bar{x}$

   $TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. $\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. $\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. $\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

To wszystko...