Transformacja Fouriera rozkładów

10

Które rozkłady są ich własną transformacją Fouriera poza rozkładem normalnym i uogólnionym rozkładem łukowym ?

Neil G.
źródło

Odpowiedzi:

24

Załóżmy, że transformata Fouriera dla to gdzie gdzie . Odwrotna transformacja to x(t)X(f)

X(f)=x(t)exp(i2πft)dt
i=1
x(t)=X(f)exp(i2πft)df

Niektóre właściwości transformacji Fouriera są następujące:

  • Transformata Fouriera dla toX(t)x(f)

  • Jeżeli jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej , to jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej .x(t)tX(f)f

Zatem jeśli jest funkcją parzystą o wartości rzeczywistej , to transformata Fouriera funkcji parzystej o wartości rzeczywistej wynosix(t)tX(t)x(f)

Załóżmy teraz, że jest funkcją parzystej gęstości prawdopodobieństwa (tak, że dla wszystkich ) z dodatkową właściwością, że . Załóżmy również, że jego transformata Fouriera ma właściwość dla wszystkich . Zatem, ponieważ jest nawet nieujemną funkcją wartości rzeczywistej dla obszaru , że jest, jest również funkcją gęstości prawdopodobieństwa o właściwości, żex(t)x(t)0tx(0)=1X(f)X(f)0f

x(0)=1=X(f)df
X(f)f1X(f)X(0)=1. Jednym z przykładów takiej pary funkcji jest rozkład normalny cytowany przez OP Neila G a innym przykładem jest
x1(t)=exp(πt2),  X1(f)=exp(πf2)
x2(t)=(1|t|)1[1,1],  X2(f)=sinc2(f)={(sin(πf)πf)2,f0,1,f=0.

Zauważ teraz, że to gęstość mieszanki, której transformata Fouriera to co oznacza tę samą gęstość mieszaniny.12x2(t)+12X2(t)12X2(f)+12x2(f)

Zatem jeśli jest funkcją gęstości, której transformata Fouriera jest funkcją gęstości, to funkcja gęstości mieszaniny jest własną transformacją Fouriera.x(t)X(f)12x(t)+12X(t)

Wreszcie, biorąc pod uwagę dwie gęstości, które są ich własnymi transformacjami Fouriera, np. i , dowolna gęstość mieszaniny gdzie jest funkcją gęstości, która jest własną transformacją Fouriera.x1(t)12x2(t)+12X2(t)

αx1(t)+(1α)[12x2(t)+12X2(t)]
α[0,1]
Dilip Sarwate
źródło
7
(+1) To całkiem sprytne. Należy zauważyć, że aby zagwarantować prawidłową parę transformacji, potrzebujemy warunku całkowitego na . Mianowicie, zagwarantuje, że podana inwersja odzyska odpowiednią gęstość. W pewnym sensie później stosujesz taki warunek. (Już założyłem, że nałożono ograniczenie nieujemności na , więc nie potrzebuje on modułu).X(f)X(f)df<X(f)
kardynał