Które rozkłady są ich własną transformacją Fouriera poza rozkładem normalnym i uogólnionym rozkładem łukowym ?
źródło
Które rozkłady są ich własną transformacją Fouriera poza rozkładem normalnym i uogólnionym rozkładem łukowym ?
Załóżmy, że transformata Fouriera dla to gdzie gdzie . Odwrotna transformacja to
Niektóre właściwości transformacji Fouriera są następujące:
Transformata Fouriera dla to
Jeżeli jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej , to jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej .
Zatem jeśli jest funkcją parzystą o wartości rzeczywistej , to transformata Fouriera funkcji parzystej o wartości rzeczywistej wynosi
Załóżmy teraz, że jest funkcją parzystej gęstości prawdopodobieństwa (tak, że dla wszystkich ) z dodatkową właściwością, że . Załóżmy również, że jego transformata Fouriera ma właściwość dla wszystkich . Zatem, ponieważ jest nawet nieujemną funkcją wartości rzeczywistej dla obszaru , że jest, jest również funkcją gęstości prawdopodobieństwa o właściwości, że
Zauważ teraz, że to gęstość mieszanki, której transformata Fouriera to co oznacza tę samą gęstość mieszaniny.
Zatem jeśli jest funkcją gęstości, której transformata Fouriera jest funkcją gęstości, to funkcja gęstości mieszaniny jest własną transformacją Fouriera.
Wreszcie, biorąc pod uwagę dwie gęstości, które są ich własnymi transformacjami Fouriera, np. i , dowolna gęstość mieszaniny gdzie jest funkcją gęstości, która jest własną transformacją Fouriera.