Bezstronny estymator parametru Poissona

Liczba wypadków na dzień jest zmienną losową Poissona o parametrze , w 10 losowo wybranych dniach zaobserwowano liczbę wypadków jako 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, co będzie być obiektywnym estymatorem ?$\lambda$$e^{\lambda}$

Próbowałem w ten sposób: Wiemy, że , ale . Więc jaki będzie wymagany obiektywny estymator?$E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Jeśli , to, dla . Trudno to obliczyć$X\sim \text{Pois}(\lambda)$$P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ ale znacznie łatwiej jest obliczyć , gdzie : Możesz to udowodnić sam - to łatwe ćwiczenie. Pozwolę ci również udowodnić, że: Jeśli są oznaczone jako , to$E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ $X_1,\cdots, X_N$$\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$, W związku z tym $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ Niech . Wynika, że$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• $Z_n$ to funkcje Twoich pomiarów , ,$X_1$$\dots$$X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Ponieważmożemy to wywnioskować$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ stąd twoim bezstronnym estymatorem jest, tj. . Jednakże, w celu obliczenia trzeba ocenić sumę, która wydaje się być nieskończona, jednak pamiętać, że , a tym samym dla . Wynika z tego, że dla , stąd suma jest skończona.$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$$n>U$

---

Widzimy, że za pomocą tej metody można znaleźć obiektywny estymator dla dowolnej funkcji która może być wyrażona jako .$\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Wynika, że $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$. Chcemy oszacować$\theta=e^\lambda$. Jak mówisz, możliwe byłoby oszacowanie

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ Korzystanie z funkcji generowania momentu z $Y$, $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ znaleźliśmy to $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ więc $\hat\theta$jest stronniczy. Sugerują to pewne domysły $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ może być bezstronny przy odpowiednim wyborze współczynnika korekcji $a$. Ponownie, używając mgf z$Y$ znaleźliśmy to $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ więc jest to bezstronne, jeśli $10(e^a - 1) = 1$ który prowadzi do $a=\ln\frac{11}{10}$ i $\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$ jako bezstronny estymator $\theta=e^\lambda$.

Według twierdzenia Lehmanna-Scheffé'a , ponieważ$Y$ jest wystarczającą statystyką dla $\lambda$, estymator $\theta^*$ (funkcja $Y$) to UMVUE dla$e^\lambda$.