Czy współczynnik korelacji próby jest obiektywnym estymatorem współczynnika korelacji populacji?

Czy to prawda, że $R_{X,Y}$ jest obiektywnym estymatorem dla $\rho_{X,Y}$ ? Czyli

$$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$$

Jeśli nie, jaki jest obiektywny estymator dla ? (Być może używany jest standardowy estymator bezstronny? Ponadto, czy jest on analogiczny do wariancji bezstronnej próby, gdzie po prostu dokonujemy prostej korekty pomnożenia wariancji próbnej stronniczości przez $\rho_{X,Y}$ ?)$\frac{n}{n-1}$

Współczynnik korelacji populacji jest zdefiniowany jako podczas gdy współczynnik korelacji próbki jest zdefiniowany jakoRX,Y=∑ n i = 1 (Xi- ˉ X )(Yi- ˉ Y

$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$$ $$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$$

To nie jest łatwe pytanie, ale niektóre wyrażenia są dostępne. Jeśli mówisz w szczególności o rozkładzie normalnym, odpowiedź brzmi NIE ! Mamy

$$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$$

$n^{-2}$

$\rho = 0$$|\rho| = 1$$\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$