Intuicja przy dystrybucji prawa energetycznego

Wiem, że pdf rozkładu prawa potęgi to

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Ale co to intuicyjnie oznacza, jeśli na przykład ceny akcji są zgodne z podziałem prawa energetycznego? Czy to oznacza, że ​​straty mogą być bardzo wysokie, ale rzadkie?

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ $x$$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ $u$$10^u x_\min$

To nie jest źródłem recenzowane, ale lubię tę notatkę przez CMU statystykę profesora Cosma Shalizi . Jest także autorem tego artykułu na temat szacowania takich rzeczy na podstawie danych.

Artykuł Prawa energetyczne w ekonomii i finansach może pomóc w uzyskaniu intuicji na temat praw energetycznych. Xavier Gabaix twierdzi, że prawo władzy (PL) to forma przyjęta przez wiele zaskakujących empirycznych prawidłowości w ekonomii i finansach. Jego przegląd bada dobrze udokumentowane empiryczne PL dotyczące dochodów i zamożności, wielkości miast i firm, zysków z giełdy, wolumenu obrotu, handlu międzynarodowego i wynagrodzenia kadry kierowniczej.

Intuicja dla dystrybucji Pareto

Pareto (wikipedia) pierwotnie opisywał podział bogactwa między jednostki: duża część bogactwa każdego społeczeństwa jest własnością niewielkiego odsetka ludzi. Jego idea wyrażona prościej jako zasada Pareto lub „reguła 80-20” mówi, że 20% populacji kontroluje 80% bogactwa.

Właściwy ogon podziału dochodów i majątku często przypomina Pareto

Jeśli rozkładem dochodów jest Pareto, można wyprowadzić proste wyrażenia dla udziału 1% lub 10%. Następnie udział najwyższego kwartylowego udziału w całkowitych dochodach można uzyskać jako:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

gdzie jest parametrem kształtu. Wyrażenie to implikuje, że niższe α odpowiada grubszemu ogonowi rozkładu Pareto, a zatem większemu udziałowi w całkowitym dochodzie zajmowanym przez osoby o wyższych percentylach rozkładu. Na przykład przy α = 2 najwyższy 1% udział wynosi 10%, a przy α = 3 4%.$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$$\ln \delta$$x$$x, x' > x_\min$$\ln \delta$

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

$^\dagger$

---

$^\dagger$