Regresja moderowana: Dlaczego obliczamy termin * iloczyn * między predyktorami?

12

Analizy moderowanej regresji są często stosowane w naukach społecznych do oceny interakcji między dwoma lub więcej predyktorami / zmiennymi towarzyszącymi.

Zazwyczaj przy dwóch zmiennych predykcyjnych stosuje się następujący model:

Y=β0+β1X+β2M+β3XM+e

Zauważ, że test moderacji jest operacjonalizowany przez iloczyn produktu XM (pomnożenie między zmienną niezależną X i zmienną moderatora M ). Moje bardzo podstawowe pytanie brzmi: dlaczego faktycznie obliczamy termin produktu między X a M ? Dlaczego nie na przykład absolutna różnica |MX|czy po prostu suma X+M ?

Co ciekawe, Kenny nawiązuje do tego problemu tutaj http://davidakenny.net/cm/moderation.htm , mówiąc: „Jak się okaże, test moderacji nie zawsze jest operacjonalizowany przez określenie produktu XM”, ale nie podano dalszych wyjaśnień . Wydaje mi się, że formalna ilustracja lub dowód byłby pouczający.

mianownik
źródło

Odpowiedzi:

12

„Moderator” wpływa na współczynniki regresji względem : mogą się zmieniać wraz ze zmianami wartości moderatora. Tak więc w pełnej ogólności jest to prosty model regresji moderacjiYX

E(Y)=α(M)+β(M)X

gdzie a są funkcje moderatora zamiast stałych nie zmieniona w .αβMM

W tym samym duchu, w którym regresja opiera się na liniowym przybliżeniu zależności między i , możemy mieć nadzieję, że zarówno i są - przynajmniej w przybliżeniu - liniowymi funkcjami całym zakresie wartości w danych:XYαβMM

E(Y)=α0+α1M+O(M2)+(β0+β1M+O(M2))X=α0+β0X+α1M+β1MX+O(M2)+O(M2)X.

Porzucenie terminów nieliniowych („duże-O”) w nadziei, że są one zbyt małe, aby mieć znaczenie, daje multiplikatywny (dwuliniowy) model interakcji

(1)E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX.

To wyprowadzenie sugeruje interesującą interpretację współczynników: to szybkość, z jaką zmienia punkt przecięcia, podczas gdy to szybkość, z jaką zmienia nachylenie . ( i są nachyleniem i przecięcia, gdy jest (formalnie) ustawiony na zero). jest współczynnikiem „terminu produktu” . Odpowiada na pytanie w ten sposób:α1Mβ1Mα0β0Mβ1MX

Modelujemy moderacji z terminem produktu jeśli oczekujemy moderator będzie (w przybliżeniu średnio) mają liniową zależność nachylenia vs .MXMY X


Interesujące jest to, że to wyprowadzenie wskazuje drogę do naturalnego rozszerzenia modelu, co może sugerować sposoby sprawdzania dobroci dopasowania. Jeśli nie przejmujesz się nieliniowością w wiesz lub zakładasz, że model jest dokładny - wtedy chciałbyś rozszerzyć model, aby uwzględnić odrzucone terminy:X(1)

E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX+α2M2+β2M2X.

Testowanie hipotezy ocenia dopasowania. Oszacowanie i może wskazywać, w jaki sposób model może wymagać rozszerzenia: w celu uwzględnienia nieliniowości w (kiedy ) lub bardziej skomplikowanej relacji moderującej (kiedy ) lub ewentualnie obie. (Należy zauważyć, że ten test nie byłby sugerowany przez rozszerzenie szeregu mocy funkcji ogólnej .)α2=β2=0α2β2(1)Mα20β20f(X,M)


Na koniec, jeśli odkryjesz, że współczynnik interakcji nie różni się znacząco od zera, ale że dopasowanie jest nieliniowe (o czym świadczy znaczna wartość ), to wniosku, że (a) istnieje umiar, ale ( b) nie jest modelowany terminem , ale zamiast tego terminami wyższego rzędu zaczynającymi się od . To może być zjawisko, o którym mówił Kenny.β1β2MXM2X

Whuber
źródło
8

Jeśli użyjesz sumy predyktorów do modelowania ich interakcji, równanie wyglądałoby następująco:

Y=β0+β1X+β2M+β3(X+M)+e=β0+β1X+β2M+β3X+β3M+e=β0+(β1+β3)X+(β2+β3)M+e=β0+β1X+β2M+e

gdzie i . Dlatego twój model w ogóle nie miałby żadnych interakcji. Oczywiście nie jest tak w przypadku produktu.β1=β1+β3β2=β2+β3

Przywołaj definicję wartości bezwzględnej:

|XM|={XM,XMMX,X<M

Chociaż możesz zmniejszyć model do tego, który ma tylko i , używając def. z, wartość bezwzględna to „wyspecjalizowana forma moderacji, która prawdopodobnie nie będzie realistyczna w wielu sytuacjach”, jak wskazano w komentarzu poniżej.β0+β1X+β2M+β3|XM|+eXM|XM|

Milos
źródło
1
Właściwie włączająctermin jest wyraźnie formą moderacji: wartość zmienia . Jest to jednak ograniczona, wyspecjalizowana forma moderacji, która jest mało prawdopodobna w wielu sytuacjach. Nie jest poprawne stwierdzenie, że taki model ma „tylko główne efekty”. |XM|Mβ2
whuber
1
Tak, masz rację,jest formą moderacji, dałem się ponieść transformacji i odpowiednio zmienię odpowiedź. Dzięki za zwrócenie na to uwagi. |XM|
Milos
@Milos: Twój przykład na temat sumy predyktorów był otwieraczem do oczu, nieco zawstydzającym, muszę powiedzieć, ponieważ powinienem był już zrozumieć matematyczne implikacje;) whuber: O ile rozumiem, wartość bezwzględna jest użyteczna gdy obie zmienne predykcyjne są mierzone w tych samych jednostkach (np. dwa testy psychometryczne, przy użyciu tej samej miary, takiej jak wyniki Z lub T). Bezwzględna różnica między X i M jest użyteczną miarą, choć nie jedyną możliwą (tzn. Można również użyć terminu prodcut).
mianownik
6

Nie znajdziesz formalnego dowodu na używanie moderatora multiplikatywnego. Możesz wesprzeć to podejście innymi sposobami. Na przykład spójrz na rozszerzenie Taylora-MacLaurina dla funkcji :f(X,M)

f(X,M)=f(0,0)+f(0,0)TT+f(0,0)MM+2f(0,0)TMTM+2f(0,0)2T2T2+2f(0,0)2M2M2

Jeśli podłączysz funkcję tego formularza do równania Taylora, otrzymasz:f(X,M)=β0+βXX+βMM+βXMXM

f(X,M)=β0+βXX+βMM+βXMXM

Uzasadnieniem jest to, że ta szczególna multiplikatywna forma moderacji jest zasadniczo przybliżeniem Taylora drugiego rzędu ogólnej zależności moderacjif(X,M)

AKTUALIZACJA: jeśli dodasz wyrażenia kwadratowe, jak sugerował @whuber, to się stanie: podłącz to do Taylora:

g(X,M)=b0+bXX+bMM+bXMXM+bX2X2+bM2M2
g(X,M)=b0+bXX+bMM+bXMXM+bX2X2+bM2M2

To pokazuje, że nasz nowy model z wyrażeniami kwadratowymi odpowiada pełnej aproksymacji Taylora drugiego rzędu, w przeciwieństwie do oryginalnego modelu moderacji .g(X,M)f(X,M)

Aksakal
źródło
Skoro podstawą twojego argumentu jest rozwinięcie Taylora, dlaczego nie uwzględniłeś również pozostałych dwóch kwadratowych terminów i ? To prawda, że ​​nie są formami moderacji, ale ich włączenie do modelu zwykle wpływa na . X2M2βXM
whuber
@ Whuber, postanowiłem skrócić post - to główny powód. W przeciwnym razie zacząłem pisać o moich preferencjach, aby dołączać warunki drugiego zamówienia za każdym razem, gdy masz okres przejściowy, a następnie je wyciąć.
Aksakal