„Moderator” wpływa na współczynniki regresji względem : mogą się zmieniać wraz ze zmianami wartości moderatora. Tak więc w pełnej ogólności jest to prosty model regresji moderacjiYX
E(Y)=α(M)+β(M)X
gdzie a są funkcje moderatora zamiast stałych nie zmieniona w .αβMM
W tym samym duchu, w którym regresja opiera się na liniowym przybliżeniu zależności między i , możemy mieć nadzieję, że zarówno i są - przynajmniej w przybliżeniu - liniowymi funkcjami całym zakresie wartości w danych:XYαβMM
E(Y)=α0+α1M+O(M2)+(β0+β1M+O(M2))X=α0+β0X+α1M+β1MX+O(M2)+O(M2)X.
Porzucenie terminów nieliniowych („duże-O”) w nadziei, że są one zbyt małe, aby mieć znaczenie, daje multiplikatywny (dwuliniowy) model interakcji
E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX.(1)
To wyprowadzenie sugeruje interesującą interpretację współczynników: to szybkość, z jaką zmienia punkt przecięcia, podczas gdy to szybkość, z jaką zmienia nachylenie . ( i są nachyleniem i przecięcia, gdy jest (formalnie) ustawiony na zero). jest współczynnikiem „terminu produktu” . Odpowiada na pytanie w ten sposób:α1Mβ1Mα0β0Mβ1MX
Modelujemy moderacji z terminem produktu jeśli oczekujemy moderator będzie (w przybliżeniu średnio) mają liniową zależność nachylenia vs .MXMY X
Interesujące jest to, że to wyprowadzenie wskazuje drogę do naturalnego rozszerzenia modelu, co może sugerować sposoby sprawdzania dobroci dopasowania. Jeśli nie przejmujesz się nieliniowością w wiesz lub zakładasz, że model jest dokładny - wtedy chciałbyś rozszerzyć model, aby uwzględnić odrzucone terminy:X(1)
E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX+α2M2+β2M2X.
Testowanie hipotezy ocenia dopasowania. Oszacowanie i może wskazywać, w jaki sposób model może wymagać rozszerzenia: w celu uwzględnienia nieliniowości w (kiedy ) lub bardziej skomplikowanej relacji moderującej (kiedy ) lub ewentualnie obie. (Należy zauważyć, że ten test nie byłby sugerowany przez rozszerzenie szeregu mocy funkcji ogólnej .)α2=β2=0α2β2(1)Mα2≠0β2≠0f(X,M)
Na koniec, jeśli odkryjesz, że współczynnik interakcji nie różni się znacząco od zera, ale że dopasowanie jest nieliniowe (o czym świadczy znaczna wartość ), to wniosku, że (a) istnieje umiar, ale ( b) nie jest modelowany terminem , ale zamiast tego terminami wyższego rzędu zaczynającymi się od . To może być zjawisko, o którym mówił Kenny.β1β2MXM2X
Nie znajdziesz formalnego dowodu na używanie moderatora multiplikatywnego. Możesz wesprzeć to podejście innymi sposobami. Na przykład spójrz na rozszerzenie Taylora-MacLaurina dla funkcji :f(X,M)
Jeśli podłączysz funkcję tego formularza do równania Taylora, otrzymasz:f(X,M)=β0+βXX+βMM+βXMXM
Uzasadnieniem jest to, że ta szczególna multiplikatywna forma moderacji jest zasadniczo przybliżeniem Taylora drugiego rzędu ogólnej zależności moderacjif(X,M)
AKTUALIZACJA: jeśli dodasz wyrażenia kwadratowe, jak sugerował @whuber, to się stanie: podłącz to do Taylora:
To pokazuje, że nasz nowy model z wyrażeniami kwadratowymi odpowiada pełnej aproksymacji Taylora drugiego rzędu, w przeciwieństwie do oryginalnego modelu moderacji .g(X,M) f(X,M)
źródło