Łącznie uzupełnij wystarczające statystyki: jednolite (a, b)

13

Niech X=(x1,x2,xn) będzie próbką losową z rozkładu jednolitego na (a,b) , gdzie a<b . Niech Y1 i Yn będą największymi i najmniejszymi statystykami rzędu. Pokaż, że statystyka (Y1,Yn) jest łącznie kompletną wystarczającą statystyką dla parametru θ=(a,b).

Nie jest dla mnie problemem wykazanie wystarczalności za pomocą faktoryzacji.

Pytanie: Jak pokazać kompletność? Wolałbym podpowiedź.

Próba: mogę pokazać E[g(T(x))]=0 oznacza g(T(x))=0 dla jednoparametrowego rozkładu jednoparametrowego, ale utknąłem na dwuparametrowym rozkładzie jednorodnym.

Próbowałem bawić się z E[g(Y1,Yn)] i stosując łączny rozkład Y1 i Yn , ale nie jestem pewien, czy idę w dobrym kierunku, ponieważ rachunek potyka się o mnie.

emlu
źródło
1
Dodaj [self-study]tag i przeczytaj jego wiki . Pamiętaj, że możesz użyć formatowania lateksowego do matematyki, wkładając dolary, np. $x$Produkuje x . Próbowałem wpisać niektóre z twoich matematyki, ale możesz zmienić lub przywrócić, jeśli nie jesteś zadowolony z wyniku. Możesz wybrać notację $\vec x$dla x zamiast $\mathbf x$dla x .
Silverfish,

Odpowiedzi:

7

Zajmijmy się rutynowym rachunkiem dla Ciebie, abyś mógł dotrzeć do sedna problemu i cieszyć się formułowaniem rozwiązania. Sprowadza się do konstruowania prostokątów jako związków i różnic trójkątów.

Najpierw wybierz wartości i B , które udostępniają informacje jak najprostsze. ab Lubię : gęstość jednowymiarowa dowolnego składnika X = ( X 1 , X 2 , , X n ) jest tylko funkcją wskaźnika przedziału [ 0 , 1 ] .a=0,b=1X=(X1,X2,,Xn)[0,1]

Znajdźmy funkcję rozkładu z ( Y 1 , Y n ) . F(Y1,Yn)Z definicji dla dowolnych liczb rzeczywistych jest toy1yn

(1)F(y1,yn)=Pr(Y1y1 and Ynyn).

Wartości są oczywiście lub w przypadku, gdy dowolna z lub znajduje się poza przedziałem , więc załóżmy, że oba znajdują się w tym przedziale. (Załóżmy również, że aby uniknąć omawiania błahostek.) W tym przypadku zdarzenie można opisać w kategoriach oryginalnych zmiennych jako „co najmniej jeden z jest mniejsze lub równe i żaden z przekracza . " Równolegle wszystkie leżą wF01y1yn[a,b]=[0,1]n2(1)X=(X1,X2,,Xn)Xiy1XiynXi[0,yn]ale nie jest tak, że wszystkie z nich leżą . (y1,yn]

Ponieważ są niezależne, ich prawdopodobieństwa się mnożą i dają odpowiednio i dla tych dwóch wspomnianych właśnie zdarzeń. A zatem,Xi(yn0)n=ynn(yny1)n

F(y1,yn)=ynn(yny1)n.

Gęstość jest mieszaną pochodną cząstkową ,fF

f(y1,yn)=2Fy1yn(y1,yn)=n(n1)(yny1)n2.

Ogólny przypadek skaluje zmienne o współczynnik i przesuwa lokalizację o . (a,b)baa Tak więc, na ,a<y1yn<b

F(y1,yn;a,b)=((ynaba)n(ynabay1aba)n)=(yna)n(yny1)n(ba)n.

Zróżnicowanie jak wcześniej

f(y1,yn;a,b)=n(n1)(ba)n(yny1)n2.

Rozważ definicję kompletności. Niech będzie dowolną mierzalną funkcją dwóch rzeczywistych zmiennych. Zgodnie z definicją,g

(2)E[g(Y1,Yn)]=y1babg(y1,yn)f(y1,yn)dy1dyny1babg(y1,yn)(yny1)n2dy1dyn.

Musimy pokazać, że gdy to oczekiwanie wynosi zero dla wszystkich , to jest pewne, że dla dowolnego .(a,b)g=0(a,b)

Oto twoja wskazówka. Niech będzie dowolną mierzalną funkcją. Chciałbym to wyrazić w formie sugerowanej przez jako . Aby to zrobić, oczywiście musimy podzielić przez . Niestety, dla nie jest to definiowane za każdym razem, gdy . Kluczem jest to, że ten zestaw ma miarę zerową, więc możemy go pominąć.h:R2R(2)h(x,y)=g(x,y)(yx)n2h(yx)n2n>2yx

Odpowiednio, biorąc pod uwagę dowolną mierzalną , zdefiniujh

g(x,y)={h(x,y)/(yx)n2xy0x=y

Następnie staje się(2)

(3)y1babh(y1,yn)dy1dynE[g(Y1,Yn)].

(Gdy zadanie pokazuje, że coś jest zerowe, możemy zignorować niezerowe stałe proporcjonalności. Tutaj upuściłem z lewej strony.)n(n1)/(ba)n2

Jest to całka nad prostokątnym trójkątem z przeciwprostokątną rozciągającą się od do i wierzchołkiem w . Oznaczmy taki trójkąt .(a,a)(b,b)(a,b)Δ(a,b)

Ergo , co musisz pokazać, to że jeśli całka arbitralnej mierzalnej funkcji we wszystkich trójkątach wynosi zero, to dla dowolnego , (prawie na pewno ) dla wszystkich .hΔ(a,b)a<bh(x,y)=0(x,y)Δ(a,b)

Chociaż może się wydawać, że nie poszliśmy dalej, rozważ dowolny prostokąt całkowicie zawarty w półpłaszczyźnie . Można to wyrazić jako trójkąty:[u1,u2]×[v1,v2]y>x

[u1,u2]×[v1,v2]=Δ(u1,v2)(Δ(u1,v1)Δ(u2,v2))Δ(u2,v1).

Rysunek przedstawiający trzy zachodzące na siebie trójkąty, które tworzą prostokąt

Na tej figurze prostokąt jest pozostałością po dużym trójkącie, gdy usuwamy zachodzące na siebie czerwone i zielone trójkąty (które podwójnie liczą ich brązowe przecięcie), a następnie zastępujemy ich przecięcie.

W związku z tym możesz natychmiast wywnioskować, że całka na wszystkich takich prostokątach wynosi zero. h Pozostaje tylko pokazać, że musi wynosić zero (oprócz wartości w pewnym zbiorze miary zero) za każdym razem, gdy . Dowód tego (intuicyjnie jasnego) stwierdzenia zależy od tego, jakie podejście chcesz zastosować do definicji integracji.h(x,y)y>x

Whuber
źródło
Próbowałem ustawić równanie 3 na zero, wziąć pochodną po obu stronach i zamienić znaki (działanie odruchowe, jak sądzę), ale wyniki wyglądają dość przerażająco [1]. Czy istnieje bardziej rozsądne podejście? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions
mugen
1
Rozważ skończone kolekcje coraz mniejszych trójkątów leżących wzdłuż przeciwprostokątnej na zdjęciu i zmierz granicę, gdy średnica największego trójkąta w kolekcji spada do zera.
whuber