Niech będzie próbką losową z rozkładu jednolitego na , gdzie . Niech i będą największymi i najmniejszymi statystykami rzędu. Pokaż, że statystyka jest łącznie kompletną wystarczającą statystyką dla parametru .
Nie jest dla mnie problemem wykazanie wystarczalności za pomocą faktoryzacji.
Pytanie: Jak pokazać kompletność? Wolałbym podpowiedź.
Próba: mogę pokazać oznacza dla jednoparametrowego rozkładu jednoparametrowego, ale utknąłem na dwuparametrowym rozkładzie jednorodnym.
Próbowałem bawić się z i stosując łączny rozkład i , ale nie jestem pewien, czy idę w dobrym kierunku, ponieważ rachunek potyka się o mnie.
[self-study]
tag i przeczytaj jego wiki . Pamiętaj, że możesz użyć formatowania lateksowego do matematyki, wkładając dolary, np.$x$
Produkuje$\vec x$
dla$\mathbf x$
dlaOdpowiedzi:
Zajmijmy się rutynowym rachunkiem dla Ciebie, abyś mógł dotrzeć do sedna problemu i cieszyć się formułowaniem rozwiązania. Sprowadza się do konstruowania prostokątów jako związków i różnic trójkątów.
Najpierw wybierz wartości i B , które udostępniają informacje jak najprostsze.a b Lubię : gęstość jednowymiarowa dowolnego składnika X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) jest tylko funkcją wskaźnika przedziału [ 0 , 1 ] .a=0,b=1 X=(X1,X2,…,Xn) [0,1]
Znajdźmy funkcję rozkładu z ( Y 1 , Y n ) .F (Y1,Yn) Z definicji dla dowolnych liczb rzeczywistych jest toy1≤yn
Wartości są oczywiście lub w przypadku, gdy dowolna z lub znajduje się poza przedziałem , więc załóżmy, że oba znajdują się w tym przedziale. (Załóżmy również, że aby uniknąć omawiania błahostek.) W tym przypadku zdarzenie można opisać w kategoriach oryginalnych zmiennych jako „co najmniej jeden z jest mniejsze lub równe i żaden z przekracza . " Równolegle wszystkie leżą wF 0 1 y1 yn [a,b]=[0,1] n≥2 (1) X=(X1,X2,…,Xn) Xi y1 Xi yn Xi [0,yn] ale nie jest tak, że wszystkie z nich leżą . (y1,yn]
Ponieważ są niezależne, ich prawdopodobieństwa się mnożą i dają odpowiednio i dla tych dwóch wspomnianych właśnie zdarzeń. A zatem,Xi (yn−0)n=ynn (yn−y1)n
Gęstość jest mieszaną pochodną cząstkową ,f F
Ogólny przypadek skaluje zmienne o współczynnik i przesuwa lokalizację o .(a,b) b−a a Tak więc, na ,a<y1≤yn<b
Zróżnicowanie jak wcześniej
Rozważ definicję kompletności. Niech będzie dowolną mierzalną funkcją dwóch rzeczywistych zmiennych. Zgodnie z definicją,g
Musimy pokazać, że gdy to oczekiwanie wynosi zero dla wszystkich , to jest pewne, że dla dowolnego .(a,b) g=0 (a,b)
Oto twoja wskazówka. Niech będzie dowolną mierzalną funkcją. Chciałbym to wyrazić w formie sugerowanej przez jako . Aby to zrobić, oczywiście musimy podzielić przez . Niestety, dla nie jest to definiowane za każdym razem, gdy . Kluczem jest to, że ten zestaw ma miarę zerową, więc możemy go pominąć.h:R2→R (2) h(x,y)=g(x,y)(y−x)n−2 h (y−x)n−2 n>2 y−x
Odpowiednio, biorąc pod uwagę dowolną mierzalną , zdefiniujh
Następnie staje się(2)
(Gdy zadanie pokazuje, że coś jest zerowe, możemy zignorować niezerowe stałe proporcjonalności. Tutaj upuściłem z lewej strony.)n(n−1)/(b−a)n−2
Jest to całka nad prostokątnym trójkątem z przeciwprostokątną rozciągającą się od do i wierzchołkiem w . Oznaczmy taki trójkąt .(a,a) (b,b) (a,b) Δ(a,b)
Ergo , co musisz pokazać, to że jeśli całka arbitralnej mierzalnej funkcji we wszystkich trójkątach wynosi zero, to dla dowolnego , (prawie na pewno ) dla wszystkich .h Δ(a,b) a<b h(x,y)=0 (x,y)∈Δ(a,b)
Chociaż może się wydawać, że nie poszliśmy dalej, rozważ dowolny prostokąt całkowicie zawarty w półpłaszczyźnie . Można to wyrazić jako trójkąty:[u1,u2]×[v1,v2] y>x
Na tej figurze prostokąt jest pozostałością po dużym trójkącie, gdy usuwamy zachodzące na siebie czerwone i zielone trójkąty (które podwójnie liczą ich brązowe przecięcie), a następnie zastępujemy ich przecięcie.
W związku z tym możesz natychmiast wywnioskować, że całka na wszystkich takich prostokątach wynosi zero.h Pozostaje tylko pokazać, że musi wynosić zero (oprócz wartości w pewnym zbiorze miary zero) za każdym razem, gdy . Dowód tego (intuicyjnie jasnego) stwierdzenia zależy od tego, jakie podejście chcesz zastosować do definicji integracji.h(x,y) y>x
źródło