Definicja naturalnych splajnów sześciennych do regresji

Uczę się o splajnach z książki „Elementy statystycznego uczenia się eksploracji danych, wnioskowania i prognozowania” Hastie i in. Na stronie 145 stwierdziłem, że naturalne splajny sześcienne są liniowe poza sękami granicznymi. W jest węzłów, a o takim podano w książce.$K$$\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

Pytanie 1: W jaki sposób uwolniono 4 stopnie swobody? Nie rozumiem tej części.

Pytanie 2 : W definicji gdy a następnie . Co autor próbuje zrobić w tej formule? W jaki sposób pomaga to upewnić się, że splajny są liniowe poza sękami granicznymi?$d_k(X)$$k=K$$d_K(X) = \frac 0 0$

1. Zacznijmy od rozważenia zwykłych splajnów sześciennych. Są sześcienne między każdą parą węzłów i sześcienne poza granicami węzłów. Zaczynamy od 4df dla pierwszego sześciennego (na lewo od pierwszego węzła granicznego), a każdy węzeł dodaje jeden nowy parametr (ponieważ ciągłość splajnów sześciennych i pochodnych i drugich pochodnych dodaje trzy ograniczenia, pozostawiając jeden wolny parametr), co daje w sumie parametry dla węzłów$K+4$$K$

   Naturalny splajn sześcienny jest liniowy na obu końcach. Ogranicza to sześciennej i kwadratowe elementy tam 0 każde zmniejszenie df o 1. To jest 2 DF na każdym z dwóch końców łuku, zmniejszając do .$K+4$$K$

   Wyobraź sobie, że decydujesz się wydać pewną całkowitą liczbę stopni swobody ( powiedzmy ) na oszacowanie krzywej nieparametrycznej. Ponieważ nałożenie naturalnego splajnu wykorzystuje 4 mniej stopni swobody niż zwykły splajn sześcienny (dla tej samej liczby węzłów), przy tych parametrach można uzyskać 4 dodatkowe węzły (a więc 4 dodatkowe parametry) do modelowania krzywej między węzłami brzegowymi .$p$$p$

2. Zauważ, że definicja dla jest dla (ponieważ we wszystkich jest funkcji bazowych). Zatem ostatnia funkcja podstawowa na tej liście, . Zatem najwyższe potrzebne do definicji jest dla . (To znaczy, nie musimy próbować wymyślić, co może zrobić , ponieważ go nie używamy.)$N_{k+2}$$k=1,2,...,K-2$$K$$N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$$k$$d_k$$k=K-1$$d_K$

$2$$\xi_1, \xi_2$$]-\infty, \xi_1[$$]\xi_1, \xi_2[$$]\xi_2, +\infty[$$|I|=3$$|I|-1=2$ sęki).

Dla (wspólnych) splajnów sześciennych

$4|I|=12$

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$$

$\mathcal{C}^r$$r=2$$(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

Do naturalnych wypustów sześciennych

„ Naturalne splajny sześcienne dodają dodatkowe ograniczenia, mianowicie ta funkcja jest liniowa poza sęki brzegowe”.

$4|I|-4=12-4$$4$$2$

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$$

$3\times(|I|-1) = 6$

$8-6=2$