Wyprowadzenie zmiany zmiennych funkcji gęstości prawdopodobieństwa?

16

W rozpoznawaniu wzorów książek i uczeniu maszynowym (wzór 1.27) daje

py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g(y)|
gdziex=g(y),to pdf, który odpowiadaw odniesieniu do zmiany zmiennej.p y ( y )px(x)py(y)

Książki mówią, że dzieje się tak, ponieważ obserwacje mieszczące się w zakresie (x,x+δx) , dla małych wartości δx , zostaną przekształcone w zakres (y,y+δy) .

Jak powstaje to formalnie?


Aktualizacja Dilip Sarwate

Wynik zachodzi tylko wtedy, gdy sol jest ściśle monotoniczną funkcją zwiększania lub zmniejszania.


Niektóre drobne zmiany w odpowiedzi LV Rao Dlatego jeśli g

P(Yy)=P(g(X)y)={P(Xg1(y)),gdyby sol rośnie monotonicznieP.(Xsol-1(y)),gdyby sol zmniejsza się monotonicznie
soljest monotonicznie rosnący f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) d
faY(y)=faX(sol-1(y))
jeżeli monotonicznie zmniejsza się FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))d
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
FY(y)=1-faX(sol-1(y))
fY(y)=fX(g-1(y))| re
fY(y)=-faX(sol-1(y))rereysol-1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|
dontloo
źródło
1
gg
Wyjaśnienie twojej książki przypomina to, które zaproponowałem na stronie stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Opublikowałem również ogólną metodę algebraiczną na stronie stats.stackexchange.com/a/101298/919 oraz geometryczne wyjaśnienie na stronie stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
whuber
1
@DilipSarwate dziękuję za wyjaśnienie, myślę, że rozumiem intuicję, ale bardziej interesuje mnie, w jaki sposób można ją wyprowadzić przy użyciu istniejących reguł i twierdzeń :)
dontloo,

Odpowiedzi:

15

XpdfY=g(X)pdfY

P(Yy)=P(g(X)y)=P(Xg1(y))orFY(y)=FX(g1(y)),by the definition of CDF
yYY
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
Y
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|
LVRao
źródło
Ale ponieważ całka nad fx musi sumować się do 1, a fy jest skalowaną wersją fx, czy to nie znaczy, że fy nie jest poprawnym pdf, chyba że jacobian w abs () ma wartość 1 lub -1?
Chris
g1