Czy ktoś może podać przykład unimodalnego rozkładu, który ma skośność równą zero, ale który nie jest symetryczny?

W maju 2010 r. Użytkownik Wikipedii Mcorazao dodał zdanie do artykułu o skośności: „Wartość zero wskazuje, że wartości są względnie równomiernie rozłożone po obu stronach średniej, zazwyczaj, ale niekoniecznie, implikując rozkład symetryczny”. Jednak na stronie wiki nie ma faktycznych przykładów dystrybucji, które łamią tę regułę. Googlowanie „przykładowe rozkłady asymetryczne z zerową skośnością” również nie daje prawdziwych przykładów, przynajmniej w pierwszych 20 wynikach.

Używając definicji, że pochylenie jest obliczane przez orazwzór R.$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Potrafię skonstruować mały, dowolny rozkład, aby obniżyć skośność. Na przykład dystrybucja

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

daje przekrzywienie . Ale to mała próbka, a ponadto odchylenie od symetrii nie jest duże. Czy jest więc możliwe zbudowanie większego rozkładu z jednym pikiem, który jest wysoce asymetryczny, ale nadal ma skośność prawie zero?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Rozważ dyskretne rozkłady. Taki, który jest obsługiwany na wartości x 1 , x 2 , … , x k jest określony przez nieujemne prawdopodobieństwa p 1 , p 2 , … , p k pod warunkiem, że (a) sumują się do 1 i (b) współczynnik skośności wynosi 0 (co jest równoważne z trzecim momentem centralnym równym zero). Pozostawia to k - 2 stopnie swobody (w sensie rozwiązywania równań, nie statystycznego!). Możemy mieć nadzieję, że znajdziemy rozwiązania, które są niemodalne.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Aby ułatwić wyszukiwanie przykładów, szukałem rozwiązań obsługiwanych na małym symetrycznym wektorze z unikalnym trybem przy 0 , średniej zero i zerowej skośności . Jednym z takich rozwiązań jest ( s 1 , ... , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Widać, że jest asymetryczny.

Oto bardziej oczywiste rozwiązanie asymetryczne z (który jest asymetryczny) ip = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Teraz jest oczywiste, co się dzieje: ponieważ średnia wynosi , wartości ujemne przyczyniają się ( - 3 ) 3 = - 27 i 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 do trzeciego momentu, podczas gdy wartości dodatnie przyczyniają się 4 × 2 3 = 32 i 13 × 1 3 = 13 , dokładnie równoważąc ujemne wkłady. Możemy przyjąć rozkład symetryczny około 0 , na przykład x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ przy p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 i przesunąć małą masę z + 1 na + 2 , małą masę z + 1 na - 1 i niewielką ilość masy do - 3 , utrzymując średnią na 0, a skośność na$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$a także tworząc asymetrię. To samo podejście zadziała, aby utrzymać zerową średnią i zerową skośność ciągłego rozkładu, jednocześnie czyniąc go asymetrycznym; jeśli nie będziemy zbyt agresywni przy przesuwaniu masy, pozostanie on jednomodalny.

Edycja: ciągłe rozkłady

Ponieważ problem wciąż się pojawia, dajmy wyraźny przykład z ciągłymi dystrybucjami. Peter Flom miał dobry pomysł: spójrz na mieszanki normalnych. Mieszanka dwóch normalnych nie zadziała: gdy zniknie skośność, będzie symetryczna. Kolejnym najprostszym przypadkiem jest mieszanka trzech normalnych.

Mieszaniny trzech normalnych, po odpowiednim wyborze lokalizacji i skali, zależą od sześciu rzeczywistych parametrów, a zatem powinny mieć więcej niż wystarczającą elastyczność, aby stworzyć asymetryczne rozwiązanie zerowej skośności. Aby je znaleźć, musimy wiedzieć, jak obliczać skośności mieszanin normalnych. Spośród nich będziemy szukać tych, które są jednomodalne (możliwe, że nie ma żadnych).

Otóż, na ogół, (nie centralne) Moment rozkładu normalnego jest równa zero, gdy R jest liczbą nieparzystą, a poza tym jest równa 2 R / 2 y ( 1 - $r^\text{th}$$r$ . Kiedy przeskalować że standardowy rozkład normalny mieć odchylenie standardoweĎTheRthchwila jest mnożona przezĎr. Kiedy przesunąć dowolną dystrybucję przezľ, nowyRthchwili może być wyrażona w chwilach włącznier. Moment mieszanki rozkładów (to znaczy ich ważona średnia) jest taką samą średnią ważoną poszczególnych momentów. Wreszcie skośność wynosi zero dokładnie wtedy, gdy trzeci centralny moment wynosi zero, i można to łatwo obliczyć w odniesieniu do pierwszych trzech momentów.$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

To daje nam algebraiczny atak na problem. Jednym z rozwiązań, że stwierdzone jest równa mieszaninę trzech normalnych parametrów równym ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) oraz ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$. Jego średnia równe(0+1/2+0)/3=1/6. Ten obraz pokazuje pdf na niebiesko, a pdf dystrybucjiobrócony o swoją średniąna czerwono. Różnice między nimi pokazują, że oba są asymetryczne. (Tryb około0,0519216nierówne średniej z1/6). Obie zero skośność ze względów konstrukcyjnych.$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Wykresy wskazują, że są one jednomodalne. (Możesz to sprawdzić za pomocą Calculus, aby znaleźć lokalne maksima.)

$k=0.0629$$c=18.1484$

Ma średnią 0,5387, odchylenie standardowe 0,2907, skośność 0,0000 i kurtozę 2,0000. Źródło nazywa to również „dystrybucją słoni”:

Moja reprodukcja w języku R została stworzona za pomocą

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

wydajność

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Rozważ rozkład na dodatniej połowie rzeczywistej linii, który zwiększa się liniowo od 0 do trybu, a następnie jest wykładniczy na prawo od trybu, ale jest ciągły w tym trybie.

Można to nazwać rozkładem wykładniczym trójkątnym (choć często wygląda trochę jak płetwa rekina).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Wątek Nietypowe rozkłady z zerową skośnością i zerową kurtozą? ma kilka asymetrycznych przykładów, w tym mały dyskretny przykład i kolejny ciągły nieimodalny:

Dyskretne rozkłady unimodalne - lub równoważnie próbki - o zerowej skośności są dość łatwe do zbudowania, o dużych lub małych rozmiarach.

Oto przykład, który możesz potraktować jako próbkę lub (dzieląc nieprzetworzone częstotliwości przez 3000) jako pmf (wartości „x” to pobrane wartości, a „n” to liczba przypadków, w których wartość występuje w próbce ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Ten przykład zbudowany jest z 3-punktowych rozkładów:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

Istnieje wiele innych takich „atomów”, które można zbudować, ale w tym przykładzie użyto tylko jednego rodzaju. Do pewnej kombinacji atomów, takich jak te, dodaje się kilka symetrycznie umieszczonych wartości w celu wypełnienia pozostałych otworów i zagwarantowania niejednoznaczności bez niszczenia struktury średniej i trzeciego momentu.

$[1]$

$[2]$

Pewnie. Spróbuj tego:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Zrobiłeś już ciężkie rzeczy!)

$Y$$Z$$\mu$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

Następujący dyskretny rozkład jest asymetryczny i ma zerową skośność: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Znalazłem to w pracy Doric i in., Qual Quant (2009) 43: 481–493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9