Jeśli

Natrafiłem na dowód na jedną z właściwości modelu ARCH, który mówi, że jeśli , to jest stacjonarny iff gdzie model ARCH to:{ X t } ∑ p i = 1 b i < $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Główną ideą dowodu jest pokazanie, że można zapisać jako proces AR (p), a jeśli jest prawdziwe, wówczas wszystkie pierwiastki charakterystycznego wielomianu leżą poza jednostką koło i stąd jest nieruchomy. Następnie mówi, że stąd jest stacjonarny. Jak to się dzieje? ∑ p i = 1 b i < 1 { X 2 t } { X t$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

Z sekcji podano rozumiem, jak można zobaczyć, że stacjonarności implikuje stacjonarności ale faktycznie to tylko zakłada stałą wariancję . X t X t$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Autorzy tego dowodu używali stacjonarności aby uzupełnić argument, który rozpoczęli wcześniej, patrząc na bezwarunkowe momenty X $X^2_t$$X_t$

Przywołaj warunki stacjonarności rzędu :$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Warunek 1 został udowodniony przez$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

Warunek 3 został udowodniony przez$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Ale aby udowodnić drugi warunek, musieli udowodnić stałą bezwarunkową wariancję$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

To prowadzi do założenia stacjonarności którym wspomniałeś, że używa swojej formy . W skrócie: Jeśli X ^ 2_t jest nieruchome, wówczas pierwiastki wielomianu leżą poza okręgiem jednostki, a To umożliwia pisać: $X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$