Po pierwsze, mam pytanie, czy rozkład Poissona jest „stabilny”, czy nie. Bardzo naiwnie (i nie jestem zbyt pewny co do „stabilnych” rozkładów), opracowałem rozkład liniowej kombinacji rozproszonych RV Poissona, używając iloczynu MGF. Wygląda na to, że dostaję kolejnego Poissona z parametrem równym liniowej kombinacji parametrów poszczególnych RV. Stwierdzam więc, że Poisson jest „stabilny”. czego mi brakuje?
Po drugie, czy istnieją formuły inwersji dla MGF, podobnie jak dla funkcji charakterystycznej?
distributions
poisson-distribution
mgf
Szczery
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Liniowe kombinacje zmiennych losowych Poissona
Jak obliczyłeś, funkcja generująca moment rozkładu Poissona ze współczynnikiem wynosi m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ
Odwrócenie funkcji generujących moment
Inwersji można następnie dokonać za pomocą całki Bromwich lub wzoru inwersji Post . Probabilistyczną interpretację tego ostatniego można znaleźć w ćwiczeniu w kilku klasycznych tekstach prawdopodobieństwa.
Chociaż nie jest to bezpośrednio związane, możesz również zainteresować się poniższą uwagą.
Powiązaną teorię opracowuje się częściej dla funkcji charakterystycznych, ponieważ są one w pełni ogólne: istnieją dla wszystkich rozkładów bez ograniczeń podparcia lub momentu.
źródło
Nie znam formuł inwersji dla MGF (ale wydaje się, że @cardinal).
źródło