Czy istnieje generalizacja śladu Pillai i śladu Hotellinga-Lawleya?

W ustawieniu wielowymiarowej regresji wielokrotnej (regresor wektorowy i regresja i) cztery główne testy ogólnej hipotezy (Lambda Wilka, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley i największa korzeń Roya) zależą od wartości własnych macierzy $H E^{-1}$ , gdzie $H$ i $E$ są „objaśnionymi” i „całkowitymi” macierzami zmienności.

I zauważył, że dane statystyczne Pillai i Hotellinga-Lawley mogą być oba wyrażone jako odpowiednio dla κ = 1 , 0 . Patrzę na aplikację, w której rozkład tego śladu, zdefiniowany dla analogów populacji H i E , jest interesujący dla przypadku κ = 2 . (błędy modulo w mojej pracy.) Jestem ciekawy, czy istnieje pewne znane ujednolicenie przykładowych statystyk dla ogólnego

$$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$$ $\kappa = 1, 0$$H$$E$$\kappa = 2$$\kappa$lub inne uogólnienie, które obejmuje dwa lub więcej z czterech klasycznych testów. Zdaję sobie sprawę, że dla $\kappa$ nie równego $0$ lub $1$ , licznik nie wygląda już jak chi-kwadrat pod zerą, więc centralne przybliżenie F wydaje się wątpliwe, więc może to jest ślepy zaułek.

Mam nadzieję, że były badania nad rozkładem $\psi_{\kappa}$ poniżej wartości zerowej ( tj . Prawdziwa macierz współczynników regresji wynosi zero) i zgodnie z alternatywą. Interesuje mnie szczególnie przypadek $\kappa = 2$ , ale jeśli są prace nad ogólnym przypadkiem $\kappa$ , mógłbym oczywiście tego użyć.

Wyobrażam sobie, że produktywne uogólnienia wynikłyby z obserwacji tego

1. ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$$l_1$$\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$$l_\infty$$\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
2. $HE^{-1}$$l_2$$\| H E^{-1} \|_2$
3. $\infty$$\Lambda$$\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

$\psi_2$