Dlaczego ln [E (x)]> E [ln (x)]?

13

Zajmujemy się logarytmiczną dystrybucją na kursie finansowym, a mój podręcznik po prostu stwierdza, że ​​to prawda, co wydaje mi się frustrujące, ponieważ moje matematyczne doświadczenie nie jest zbyt silne, ale chcę intuicji. Czy ktoś może mi pokazać, dlaczego tak jest?

Chisq
źródło
1
Odpowiedziałem już tutaj: math.stackexchange.com/questions/21063/…
Laksan Nathan
20
ln jest funkcją wklęsłą. Spójrz w górę nierówności Jensena: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality
kjetil b halvorsen
Inathan: Och przepraszam, nie znalazłem tego, kiedy szukałem.
Chisq,

Odpowiedzi:

26

Przypomnij sobie, żeex1+x

E[eY]=eE(Y)E[eYE(Y)]eE(Y)E[1+YE(Y)]=eE(Y)

WięceE(Y)E[eY]

Teraz pozwalając , mamy:Y=lnX

eE(lnX)E[elnX]=E(X)

teraz weź dzienniki z obu stron

E[ln(X)]ln[E(X)]


Alternatywnie:

lnX=lnXlnμ+lnμ (gdzie )μ=E(X)

=ln(X/μ)+lnμ

=ln[Xμμ+1]+lnμ

Xμμ+lnμ (od )ln(t+1)t

Teraz weź oczekiwania obu stron:

E[ln(X)]lnμ


Ilustracja (pokazująca związek z nierównością Jensena):

( Tutaj role X i Y są zamienione, aby pasowały do ​​osi wykresu; lepsze planowanie zamieniłoby ich role powyżej, aby wykres bardziej bezpośrednio pasował do algebry. )

wykres rozproszenia y = exp (x) vs x dla próbki, pokazujący nierówności wynikające z krzywizny w tej relacji

Jednolite kolorowe linie reprezentują średnie na każdej osi.

XYY

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło