Prawdopodobieństwa warunkowe - czy są one unikalne dla bayesianizmu?

Zastanawiam się, czy prawdopodobieństwa warunkowe są unikalne dla bayesianizmu, czy też są bardziej ogólną koncepcją podzielaną przez kilka szkół myślenia wśród statystów / osób prawdopodobieństwa.

Zakładam, że tak jest, ponieważ zakładam, że nikt nie może jest w pewnym sensie logiczne, więc myślę, że częstokroć przynajmniej teoretycznie by się zgodził, ostrzegając jednocześnie przed Bayesianem wnioskować więcej z przyczyn praktycznych, a nie z powodu prawdopodobieństw warunkowych.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Aby zestawić inne i idealnie adekwatne odpowiedzi, przykłady modeli prawdopodobieństwa warunkowego obfitują w liniowe i uogólnione modele liniowe, ponieważ definicja takich modeli jest zależna od regresorów lub zmiennych towarzyszących:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

Pojęcie warunkowego rozkładu prawdopodobieństwa jest zdefiniowane w teorii miary bez odniesienia do statystyki, a tym bardziej do „bayesianizmu”. Na przykład Rényi zbudował teorię prawdopodobieństwa na podstawie wersji warunkowych. Zauważ też, że w teorii miar formalnych uwarunkowanie odnosi się raczej do -field a nie do zdarzenia. Warunkowego oczekiwanie jest następnie funkcja -measurable tak, że dla wszystkich funkcji mierzalnych . (Jak ilustruje to koncepcja Martingales$\sigma$$\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Podobnie jak w przypadku wszystkich teorii prawdopodobieństwa , prawdopodobieństwo warunkowe nie ma nic wspólnego ze statystyką bayesowską vs. Nawet twierdzenie Bayesa nie jest „bayesowskie”, ale jest ogólnym twierdzeniem o prawdopodobieństwie, np. Może być użyte do korekty prawdopodobieństw dla stopy bazowej , bez żadnych priorów, lub subiektywnej interpretacji bayesowskiej prawdopodobieństwa .

Jeśli zapytasz „jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania pracy inżyniera bazy danych, biorąc pod uwagę, że jesteś kobietą?”, Lub „jakie jest prawdopodobieństwo, że masz HIV, biorąc pod uwagę, że test Western blot był pozytywny?”, To pytasz o warunkowe prawdopodobieństwa. Modele regresji logistycznej prawdopodobieństwo warunkowe itp.

Zobacz także Czy jest jakaś * matematyczna * podstawa dla debaty bayesowskiej i częstej? oraz Bayesowskie vs częste interpretacje prawdopodobieństwa

Metody często stosowane są również przez prawdopodobieństwa warunkowe. Wartość p jest prawdopodobieństwem warunkowym. Jedynym problemem jest to, że nie jest to bardzo przydatne ani intuicyjne prawdopodobieństwo warunkowe. Jeśli obliczymy współczynnik korelacji, a nasza maszyna wyrzuci „p = 0,03”, tak naprawdę to mówi:

$p(D^*|H_0) = .03$

Gdzie odnosi się do obserwowanych danych lub bardziej ekstremalnych danych (tj. Danych, które dają obserwowany wynik lub wynik silniejszy w tym samym kierunku), a jest hipotezą zerową (i wszystkimi przyjętymi z nią założeniami).$D^*$$H_0$

W oparciu o hipotezę zerową prawdopodobieństwo, że zaobserwujemy nasze dane lub bardziej ekstremalne dane, wynosi 0,03. Jest to warunkowe prawdopodobieństwo całkowicie nieobecne w twierdzeniu Bayesa. Moim zdaniem, zwykle nie jest to tak przydatne (chyba że naprawdę próbujesz uzyskać takie prawdopodobieństwo z jakiegoś powodu).

Nie sądzę, aby można było powiedzieć, że prawdopodobieństwa warunkowe są unikalne dla bayesianizmu.

(Zmierz ekspertów teorii, prosimy o poprawienie mnie.)

Jednym ze sposobów wyświetlenia prawdopodobieństwa warunkowego - szczególnie gdy masz równie prawdopodobne wyniki - jest oparcie obliczeń prawdopodobieństwa na podzbiorze , gdzie to przestrzeń próbki.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Rozważmy na przykład niektóre zebrane fikcyjne dane (uwaga: nie mamy „wcześniejszych” informacji) w ankiecie:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Załóżmy, że prawdopodobieństwo wybrania osoby badanej powyżej jest równie prawdopodobne. Rozważ przykładową przestrzeń wszystkich ankietowanych osób i pozwól , gdzie jest niepustym -algebra podzbiorów .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

Z definicji równie prawdopodobnego zdarzenia dla każdego zdarzenia , gdzieoznacza ustawioną liczność.$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Gdybyśmy byli zainteresowani, powiedzmy, prawdopodobieństwem posiadania telewizora, biorąc pod uwagę, że jesteś kobietą, pozwalając być wydarzeniem bycia kobietą, a być zdarzeniem posiadania telewizora, obliczalibyśmy prawdopodobieństwo jako i traktujemy jako naszego nowego miejsca próbki . Ale zauważ, że możemy napisać To jest dokładnie definicja prawdopodobieństwa warunkowego i nie korzysta z twierdzenia Bayesa. Wszystko, co robimy, to ograniczanie naszej próbki miejsca.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Jestem nieco spóźniony na tę konkretną imprezę, ale pomyślałem, że dodam bardziej filozoficzną odpowiedź do innych doskonałych odpowiedzi tutaj, na wypadek, gdyby była pomocna dla przyszłych poszukiwaczy.

Jeśli jesteś hipotetycznym częstym, to definicja prawdopodobieństwa warunkowego wynika z prawa granicznego podziału. , niech będzie liczbą razy, gdy jest prawdziwy w próbach i niech będzie liczbą razy, gdy jest prawdziwy w próbach. Definiujemy oraz Na koniec, niech będzie ułamkiem czasów, gdy jest prawdą, że jest również prawdziwe, w nieskończonym limicie: $f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$$E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ Zakładając jest różna od zera, mamy $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$