Wyobraźmy sobie, że mamy dwa procesy szeregów czasowych, które są stacjonarne, wytwarzając: .
Czy , również stacjonarny? ∀ α , β ∈ R
Każda pomoc będzie mile widziana.
Powiedziałbym tak, ponieważ ma on reprezentację MA.
time-series
stochastic-processes
stationarity
Stary człowiek na morzu.
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Być może zaskakujące, to nie jest prawda. (Niezależność dwóch szeregów czasowych sprawi jednak, że będzie to prawdą.)
Rozumiem , że słowo „stabilny” oznacza „ stacjonarny”, ponieważ te słowa wydają się być używane zamiennie w milionach wyników wyszukiwania, w tym co najmniej jednego w naszej witrynie .
Dla kontrprzykładu, niech będzie niestałym stacjonarnym szeregiem czasowym, dla którego każdy jest niezależny od , i którego rozkłady krańcowe są symetryczne wokół . DefiniowaćX t X s s ≠ t , 0X Xt Xs s≠t, 0
Te wykresy pokazują części trzech szeregów czasowych omówionych w tym poście. symulowano jako serię niezależnych losowań ze standardowego rozkładu normalnego.X
Aby pokazać, że jest nieruchome, musimy wykazać, że łączny rozkład dla dowolnego nie zależy od . Wynika to jednak bezpośrednio z symetrii i niezależności . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X tY (Ys+t1,Ys+t2,…,Ys+tn) t1<t2<⋯<tn s Xt
Te opóźnione wykresy rozrzutu (dla sekwencji 512 wartości ) ilustrują twierdzenie, że wspólne dwuwymiarowe rozkłady są zgodne z oczekiwaniami: niezależne i symetryczne. („Opóźniony wykres rozproszenia” wyświetla wartości stosunku do ; pokazano wartości ).Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , 2Y Y Yt + s Yt s = 0 , 1 , 2
Niemniej jednak, wybierając , mamyα = β= 1 / 2
dla parzystego innegot
Ponieważ nie jest stały, te dwa wyrażenia mają oczywiście różne rozkłady dla dowolnego i , skąd szereg nie jest stacjonarny. Kolory na pierwszym rysunku podkreślają tę niestacjonarność w , odróżniając wartości zerowe od reszty.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) / 2X t t + 1 ( X+ Y) / 2 ( X+ Y) / 2
źródło
Rozważmy dwuwymiarowy proces
Jeśli jest to ściśle stacjonarnym, lub alternatywnie, jeśli procesy i są wspólnie ściśle stacjonarnym , to proces tworzy mierzalnej funkcji będzie również ściśle stacjonarny.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → R(xt) (yt) f:=f(xt,yt),f:R2→R
W przykładzie @ whuber mamy
Aby sprawdzić, czy to jest ściśle stacjonarne, musimy najpierw uzyskać jego rozkład prawdopodobieństwa. Załóżmy, że zmienne są absolutnie ciągłe. Dla niektórych mamy c ∈ Rwt c∈R
Trzymając się przykładu Whubera, dwie gałęzie mają różne rozkłady prawdopodobieństwa, ponieważ ma rozkład symetryczny wokół zera.xt
Teraz, aby sprawdzić ścisłą stacjonarność, przesuń indeks o liczbę całkowitą . Mamyk>0
Musimy mieć ścisłą stacjonarność
I nie mamy tej równości , ponieważ, powiedzmy, jeśli jest parzyste, a jest nieparzyste, to jest nieparzyste, w takim przypadku∀t,k t k t+k
podczas
Nie mamy więc wspólnej ścisłej stacjonarności, a następnie nie mamy gwarancji, co stanie się z funkcją .f(xt,yt)
Muszę zaznaczyć, że zależność między i jest koniecznym, ale niewystarczającym warunkiem utraty wspólnej ścisłej stacjonarności. Jest to dodatkowe założenie zależności od indeksu, który wykonuje zadanie.xt yt yt
Rozważać
Jeśli poprzednią pracę dla , okaże się, że tutaj obowiązuje ścisła stacjonarna stacjonarność.(qt)
To dobra wiadomość, ponieważ proces polegający na tym, że proces zależy od indeksu i jest ściśle stacjonarny, nie należy do założeń modelowania, które musimy często podejmować. W praktyce zatem, jeśli mamy marginalną ścisłą stacjonarność, oczekujemy również wspólnej ścisłej stacjonarności nawet w obecności zależności (chociaż oczywiście powinniśmy to sprawdzić).
źródło
Jedna obserwacja. Myślę, że posiadanie reprezentacji MA oznacza słabą stacjonarność, nie jestem pewien, czy implikuje silną stacjonarność.
źródło