Oczekiwana wartość wyznacznika logarytmicznego macierzy Wishart

16

Niech , tj. zgodnie z rozkładem wymiarowym Wishart ze średnią i stopniami swobody . Chciałbym wyrażenie dla gdziejest wyznacznikiem.ΛW.re(ν,Ψ)re×reνΨνmi(log|Λ|)|Λ|

Odpowiedziałem trochę na google i otrzymałem sprzeczne informacje. W niniejszym dokumencie wyraźnie stwierdzono, że gdzie oznacza funkcję digamma ; artykuł nie podaje źródła tego faktu, o ile mogę powiedzieć. Jest to również formuła stosowana na stronie wikipedii dla Wishart , który zawiera tekst Bishop's Pattern Recognition.

mi(log|Λ|)=relog2)+log|Ψ|+ja=1reψ(ν-ja+12))
ψ()rerexlogΓ(x)

Z drugiej strony, Google podniósł tę dyskusję w powiązanym dokumencie, który stwierdza, że zakończenie stwierdzają, że który wywodzi się z faktu, że . Sprawdziłem to obliczenie, zaczynając od (\ sztylet) i wydaje się być w porządku, ale mamy dodatkowe -D \ log \ nu .E ( log | Λ | ) = D log 2 - D log ν + log | Ψ | + D i = 1 ψ ( ν - i + 1

νre|Λ||Ψ|χν2)χν-12)χν-re+12).()
mi(log|Λ|)=relog2)-relogν+log|Ψ|+ja=1reψ(ν-ja+12))
mi(logχν2))=log(2))+ψ(ν/2))()-relogν
chłopak
źródło

Odpowiedzi:

9

Przygotowując się do opublikowania tego, mogłem odpowiedzieć na własne pytanie. Zgodnie z ogólną etykietą StackExchange postanowiłem opublikować ją mimo to w nadziei, że ktoś, kto napotka ten problem, może to znaleźć w przyszłości, być może po napotkaniu tych samych problemów ze źródłami, które zrobiłem. Postanowiłem odpowiedzieć na nią natychmiast, aby nikt nie tracił czasu, ponieważ rozwiązanie nie jest interesujące.

() jest niepoprawny, ponieważ artykuł, do którego prowadzi dyskusja, używał innej parametryzacji Wishart; dyskutanci tego nie zauważyli. To, co powinniśmy faktycznie mieć, to Po tej korekcie dwie formuły prowadzą do tej samej odpowiedzi.

|Λ||Ψ|χν2)χν-12)χν-re+12).()

W każdym razie myślę, że to interesujący związek.()

EDYTOWAĆ:

Zgodnie z radą probabilisticlogic możemy napisać gdzie dolny trójkątny ma elementów poza przekątną i elementy na przekątnej. Biorąc determinant obu stron daje natychmiast .Λ=reΨ1/2)L.L.T.Ψ1/2)L.N.(0,1)χν-ja+12),(ja=1,...,re)()

chłopak
źródło
2
Bardziej podoba mi się wersja Cholesky'ego - masz pierwiastek kwadratowy chi-kwadrat na przekątnej i standardową normę na dolnym trójkącie.
probabilislogiczny
@probabilityislogic Dzięki za wskazówkę! Zapamiętanie tego wydaje się łatwiejsze i bardziej przydatne.
facet
Hej, próbuję wywnioskować oczekiwanie na dziennik Wishart (podany w książce Bishopa), który wygląda na skomplikowany, czy znalazłeś jakieś źródło, aby uzyskać wynik?
awokado