Nie trzeba go przedłużać. Oryginalny test Mantela, przedstawiony w pracy Mantela z 1967 r. , Pozwala na zastosowanie matryc asymetrycznych. Przypomnijmy, że ten test porównuje dwa odległość macierzy X i Y .n × nXY
W tym momencie możemy spodziewać się modyfikacji naszej statystyki, która uprości procedury statystyczne, które zostaną opracowane poniżej. Modyfikacja polega na usunięciu ograniczenia i zastąpieniu go wyłącznie ograniczeniem i ≠ j . Gdzie X i j = X j I i Y i j = Y j I , efekt modyfikacji jest po prostu dokładnie podwoić wartość sumowania. Jednak opracowane wówczas procedury są odpowiednie, nawet gdy relacje odległości nie są symetryczne, to znaczy, gdy możliwe jest, że Xja < ji ≠ jXI j= Xj iYI j= Yj i a Y i j ≠ Y j i ; szczególny przypadek następnie pokryta jest gdzie X i j =- X j I , Y i j =- Y j ja ...XI j≠ Xj iYI j≠ Yj iXI j= - Xj i, YI j= - Yj i
(w sekcji 4; wyróżnienie dodane).
Symetria wydaje się być sztucznym warunkiem w wielu programach, takich jak ade4
pakiet R
, który wykorzystuje obiekty klasy „dist” do przechowywania i manipulowania macierzami odległości. Funkcje manipulacji zakładają, że odległości są symetryczne. Z tego powodu nie można zastosować jego mantel.rtest
procedury do macierzy asymetrycznych - jest to jednak wyłącznie ograniczenie programowe, a nie właściwość samego testu.
Sam test nie wydaje się wymagać żadnych właściwości macierzy. Oczywiście (dzięki wyraźnemu odwołaniu do odwołań antysymetrycznych na końcu poprzedniego fragmentu) nie trzeba nawet, aby wpisy w lub Y były dodatnie. Jest to jedynie test permutacyjny, który wykorzystuje pewną miarę korelacji dwóch macierzy (uważanych za wektory z n 2 elementami) jako statystyki testowej.XYn2)
W zasadzie możemy wymienić możliwe permutacje naszych danych, oblicz Z [statystykę testu] dla każdej permutacji i uzyskaj zerowy rozkład Z, na podstawie którego można ocenić obserwowaną wartość Z.n !ZZZ
[ Tamże. ]
W rzeczywistości Mantel wyraźnie wskazał, że matryce nie muszą być matrycami odległości, i podkreślił znaczenie tej możliwości :
XI jYI jXja k≤ XI j+ Xj kXI jYI j
(W przykładzie podano nierówność trójkąta).
nn - 1
Z= ∑ ∑ XI jYI j
Podsumowując, od samego początku każdy z aksjomatów metrycznych był wyraźnie uważany i odrzucany jako nieistotny dla testu:
„Odległości” mogą być ujemne.
„Odległości” między obiektem a nim samym mogą być niezerowe.
Trójkątna nierówność nie musi się utrzymywać.
„Odległości” nie muszą być symetryczne.
Z= ∑ja , jXI jYI j
To jest przykład testu w R
. Biorąc pod uwagę dwie macierze odległości x
i y
zwraca próbkę rozkładu permutacji (jako wektor wartości statystyki testowej). Nie wymaga tego x
ani nie y
ma żadnych szczególnych właściwości. Muszą mieć tylko ten sam rozmiar macierzy kwadratowej.
mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
permute <- function(z) {
i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
return (z[i, i])
}
sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}