Przykład nieujemnego rozkładu dyskretnego, w którym średnia (lub inny moment) nie istnieje?

20

Pracowałem trochę w scipy i nadeszła rozmowa z członkiem podstawowej grupy scipy, czy nieujemna dyskretna zmienna losowa może mieć nieokreślony moment. Myślę, że ma rację, ale nie ma pod ręką dowodu. Czy ktoś może pokazać / udowodnić to twierdzenie? (lub jeśli to twierdzenie nie jest prawdziwe, należy je odrzucić)

Nie mam przydatnego przykładu, jeśli dyskretna zmienna losowa ma wsparcie dla ale wydaje się, że jakaś dyskretna wersja rozkładu Cauchy'ego powinna służyć jako przykład, aby uzyskać nieokreślony moment. Warunek braku negatywności (być może w tym ) wydaje się sprawiać, że problem jest trudny (przynajmniej dla mnie). 0Z0

Lucas Roberts
źródło

Odpowiedzi:

15

Niech CDF wynosić przy liczbach całkowitych stała kawałek w każdym innym miejscu i pod warunkiem spełnienia wszystkich kryteriów bycia CDF. Oczekiwanie jestF11/nn=1,2,,

0(1F(x))dx=1/2+1/3+1/4+

który się rozbiera. W tym sensie pierwszy moment (a zatem wszystkie wyższe momenty) jest nieskończony. (Zobacz uwagi na końcu do dalszego opracowania.)


Jeśli czujesz się niekomfortowo z tą notacją, zauważ, że dlan=1,2,3,,

PrF(n)=1n1n+1.

Definiuje to rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ każdy termin jest dodatni i

n=1PrF(n)=n=1(1n1n+1)=limn11n+1=1.

Oczekiwanie jest

n=1nPrF(n)=n=1n(1n1n+1)=n=11n+1=1/2+1/3+1/4+

który się rozbiera.

Ten sposób wyrażenia odpowiedzi wyjaśnia, że wszystkie rozwiązania są uzyskiwane przez tak rozbieżne serie. Rzeczywiście, jeśli chcesz, aby rozkład był obsługiwany w pewnym podzbiorze wartości dodatnich z prawdopodobieństwami sumując do jedności, to dla oczekiwań, aby rozdzielić serię co to wyraża, mianowiciex1,x2,,xn,,p1,p2,

(an)=(xnpn),

muszą mieć rozbieżne kwoty częściowe.

I odwrotnie, każda rozbieżna seria liczb nieujemnych jest powiązana z wieloma dyskretnymi rozkładami dodatnimi o rozbieżnych oczekiwaniach. (an) Na przykład, biorąc pod uwagę możesz zastosować następujący algorytm do określenia sekwencji i . Rozpocznij od ustawienia i dla Zdefiniuj jako zbiór wszystkich które powstają w ten sposób, jego elementy jako i zdefiniuj rozkład prawdopodobieństwa na przez(an)(xn)(pn)qn=2nyn=2nann=1,2,.ΩynΩ={ω1,ω2,,ωi,},Ω

Pr(ωi)=nyn=ωiqn.

Działa to, ponieważ suma jest równa sumie która wynosi a ma co najwyżej policzalną liczbę dodatnich elementów.pnqn,1,Ω

Na przykład szereg oczywiście się różni. Algorytm daje(an)=(1,1/2,1,1/2,)

y1=2a1=2; y2=22a2=2; y3=23a3=8;

Zatem

Ω={2,8,32,128,,22n+1,}

jest zbiorem nieparzystych dodatnich mocy i2

p1=q1+q2=3/4; p2=q3+q4=3/16; p3=q5+q6=3/64;


O nieskończonych i nieistniejących chwilach

Kiedy wszystkie wartości są dodatnie, nie ma czegoś takiego jak „niezdefiniowany” moment: wszystkie momenty istnieją, ale mogą być nieskończone w sensie rozbieżnej sumy (lub całki), jak pokazano na początku tej odpowiedzi.

Zasadniczo wszystkie momenty są zdefiniowane dla dodatnich zmiennych losowych, ponieważ suma lub całka, która je wyraża, albo zbiega się absolutnie, albo rozbieżnie (jest „nieskończona”). W przeciwieństwie do tego, momenty mogą stać się niezdefiniowane dla zmiennych, które przyjmują wartości dodatnie i ujemne , ponieważ - z definicji całki Lebesgue'a - moment jest różnicą między momentem części dodatniej a momentem wartości bezwzględnej części ujemnej. Jeśli oba są nieskończone, zbieżność nie jest absolutna i napotykasz problem odejmowania nieskończoności od nieskończoności: to nie istnieje.

whuber
źródło
czy ten argument podaje przykład momentu nieskończonego lub nieokreślonego? Szukam niezdefiniowanego momentu. Może jest subtelność nieokreślonych i nieskończonych chwil, których brakuje mi, aby w pełni zrozumieć twoją odpowiedź.
Lucas Roberts
2
Kiedy wszystkie wartości są dodatnie, nie ma czegoś takiego jak „niezdefiniowany” moment: wszystkie momenty istnieją, ale mogą być nieskończone.
whuber
4
Wszystkie momenty są zdefiniowane dla dodatnich zmiennych losowych. Niektóre mogą być nieskończone, to wszystko. Momenty mogą stać się niezdefiniowane dla zmiennych, które przyjmują wartości dodatnie i ujemne, ponieważ - z definicji całki Lebesgue'a - moment jest różnicą między momentem części dodatniej a momentem wartości bezwzględnej części ujemnej. Jeśli oba te są nieskończone, należy zmierzyć się z problemem odjęcie nieskończoność od nieskończoności: że nie istnieje.
whuber
1
„Wszystkie momenty są zdefiniowane dla dodatnich zmiennych losowych. Niektóre mogą być nieskończone, to wszystko.” Biorąc pod uwagę, że tytuł pytania dotyczy chwil nieistniejących , myślę, że wiele z tego komentarza zasługuje na zredagowanie w odpowiedzi!
Silverfish,
1
Chyba mogłem znaleźć odpowiedź zakopaną w tym poście: stats.stackexchange.com/questions/243150/…
Lucas Roberts
39

Oto słynny przykład: Niech przyjmie wartość z prawdopodobieństwem , dla każdej liczby całkowitej . Następnie przyjmuje wartości (dodatnie) liczb całkowitych dodatnich; masa całkowita to , ale jej oczekiwanie to Ta losowa zmienna powstaje w paradoksie petersburskim .X2k2kk1Xk=12k=1

E(X)=k=12kP(X=2k)=k=11=.
X
grand_chat
źródło
6
+1 Podoba mi się ten ze względu na jego historyczne i filozoficzne powiązania.
whuber
Rozwiązanie paradoksu: jeśli wygrasz ∞ zostajesz zmiażdżony przez siły G.
Jozuego
8
  1. Rozkład zeta jest dość dobrze znanym rozkładem dyskretnym na dodatnich liczbach całkowitych, który nie ma skończonej średniej (dla ).1<θ2

    P(X=x|θ)=1ζ(θ)xθ,x=1,2,...,θ>1

    gdzie stała normalizująca dotyczy , funkcja zeta Riemannaζ()

    (edytuj: Case jest bardzo podobny do odpowiedzi Whubera)θ=2

    Innym rozkładem o podobnym zachowaniu ogona jest rozkład Yule-Simon .

  2. Innym przykładem może być dwumianowy rozkład beta-ujemny z :0<α1

    P(X=x|α,β,r)=Γ(r+x)x!Γ(r)B(α+r,β+x)B(α,β),x=0,1,2...α,β,r>0

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
0

jakaś dyskretna wersja dystrybucji Cauchy'ego

Tak, jeśli weźmiesz jako średnią wartość rozkładu Cauchy'ego w przedziale wokół , to wyraźnie jego moment zerowy jest taki sam jak rozkład Cauchy'ego, a jego pierwszy moment asymptotycznie zbliża się do pierwszego momentu Rozkład Cauchy'ego. Jeśli chodzi o „interwał wokół ”, tak naprawdę nie ma znaczenia, jak to zdefiniujesz; weź , , , vel cetera , i zadziała. Dla dodatnich liczb całkowitych możesz również wziąć . Moment zerowy sumuje się do jednego, a pierwszy moment jest sumą , która jest rozbieżna.p(n)nn(n1,n][n,n+1)[n.5,n+.5)p(n)=6(nπ)26nπ2

I faktycznie dla dowolnego wielomianu istnieje takie , że sumuje się do 1. Jeśli weźmiemy wtedy ty moment, gdzie jest rzędem , to się rozejdzie.p(n)ccp(n)kkp(n)

Akumulacja
źródło