Możemy zapisać twierdzenie Bayesa jako
gdzie jest tylnym, jest rozkładem warunkowym, a jest wcześniejszym.f ( X | θ ) p ( θ )
lub
gdzie jest tylnym, jest funkcją prawdopodobieństwa, a jest wcześniejszym.L ( θ | x ) p ( θ )
Moje pytanie brzmi
- Dlaczego analiza bayesowska jest wykonywana przy użyciu funkcji prawdopodobieństwa, a nie rozkładu warunkowego?
- Czy możesz powiedzieć słowami, jaka jest różnica między prawdopodobieństwem a rozkładem warunkowym? Wiem, że prawdopodobieństwo nie jest rozkładem prawdopodobieństwa i .
bayesian
likelihood
kzoo
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Załóżmy, że masz zmiennych losowych (których wartości zostaną zaobserwowane w eksperymencie), które są warunkowo niezależne, biorąc pod uwagę, że Θ = θ , o gęstościach warunkowych f X i ∣ Θ (X1, … , Xn Θ = θ , dla i = 1 , … , n . To jest twój (postulowany) model statystyczny (warunkowy), a gęstości warunkowe wyrażają, dla każdej możliwej wartości θ (losowego) parametru Θ , twoją niepewność co do wartości X i ,zanimbędziesz mieć dostęp do jakiejkolwiek rzeczywistej dane. Za pomocą gęstości warunkowych można na przykład obliczyć prawdopodobieństwa warunkowe, takie jak
P { X 1 ∈ B 1 , … , X n ∈ B nfaXja∣ Θ(⋅ ∣ θ ) i = 1 , … , n θ Θ Xja
dla każdego θ .
Odpowiadając na twoje pytanie, aby zrozumieć różnice między pojęciami gęstości warunkowej i prawdopodobieństwa, pamiętaj o ich matematycznych definicjach (które są wyraźnie różne: są to różne obiekty matematyczne o różnych właściwościach), a także pamiętaj, że gęstość warunkowa jest „pre -sample ”obiekt / koncepcja, podczas gdy prawdopodobieństwo jest„ po próbce ”. Mam nadzieję, że wszystko to pomoże ci również odpowiedzieć na pytanie, dlaczego wnioskowanie bayesowskie (używając twojego sposobu wyrażenia, co nie uważam za idealne) odbywa się „przy użyciu funkcji prawdopodobieństwa, a nie rozkładu warunkowego”: celem wnioskowania bayesowskiego jest aby obliczyć rozkład tylny i aby tego dokonać, opieramy się na obserwowanych (znanych) danych.
źródło
Proporcjonalność służy do uproszczenia analizy
Na podstawie tej pracy widzimy, że rozkład tylny jest proporcjonalny do normalnej gęstości. Ponieważ tylna musi być gęstością, oznacza to, że tylna jest gęstością normalną:
Teraz wyprowadzony przez nas rozkład tylny ma stałą całkowania z przodu (którą możemy łatwo znaleźć, patrząc na postać rozkładu normalnego ). Zauważ jednak, że nie musieliśmy się martwić o tę stałą multiplikatywną - wszystkie nasze działania usuwały (lub wprowadzały) multiplikatywne stałe, ilekroć upraszczało to matematykę. Ten sam wynik można uzyskać, śledząc multiplikatywne stałe, ale jest to znacznie bardziej chaotyczny.
źródło
Ten problem pojawił się w innych pytaniach omawianych na tej stronie dotyczących funkcji prawdopodobieństwa. Także inne komentarze kjetil i Dilip wydają się potwierdzać to, co mówię.
źródło