tło
W informatyce, matematyce, a czasem także w innych dziedzinach, przykłady „ezoteryczne” mogą być nie tylko zabawne, ale także pomocne w zilustrowaniu niektórych pojęć, na przykład:
Bogosort i Slowsort to bardzo nieefektywne algorytmy sortowania, które można wykorzystać do zrozumienia właściwości algorytmów, w szczególności w porównaniu z innymi algorytmami sortowania.
Ezoteryczne języki programowania pokazują, jak daleko idąca jest koncepcja języka programowania i pomagają docenić dobre języki programowania.
Funkcja Weierstraß i funkcja Dirichleta znajdują zastosowanie przede wszystkim w celu zilustrowania pewnych nieporozumień dotyczących pojęcia ciągłości.
Obecnie przygotowuję nauczanie na temat stosowania testów hipotez i sądzę, że posiadanie testu o bardzo niskiej mocy (ale bez innych wad) pomogłoby zilustrować pojęcie władzy statystycznej. (Oczywiście nadal muszę sam zdecydować, czy dany przykład jest przydatny dydaktycznie dla moich odbiorców, czy po prostu mylący).
Rzeczywiste pytanie
Czy są jakieś testy statystyczne o celowo niskiej mocy, a dokładniej:
- Test mieści się w ogólnych ramach testów hipotez, tzn. Działa z hipotezą zerową, ma wymagania i zwraca (poprawną) wartość p .
- Nie jest przeznaczony / proponowany do poważnego zastosowania.
- Ma bardzo niską moc (z powodu celowej wady projektowej, a nie z powodu małej wielkości próbki lub efektu).
Jeśli możesz zasadniczo argumentować, że taki test nie może istnieć, uważam to również za prawidłową odpowiedź na moje pytanie. Z drugiej strony, jeśli istnieje mnóstwo takich testów, interesuje mnie najbardziej wydajny dydaktycznie, tj. Powinien on być łatwo dostępny i mieć uderzający efekt.
Zauważ, że nie proszę o ogólny wybór błędów statystycznych (zbieranie wiśni itp.) Lub podobnych.
Co znalazłem do tej pory
Wyszukiwania internetowe nic mi nie zwróciły.
Każda próba skonstruowania czegoś takiego kończyła się albo jakimś (użytecznym) istniejącym testem, albo format nie jest zwykłym testem. Na przykład myślałem o teście, czy populacja ma pozytywną medianę, która zwraca tylko tak, jeśli wszystkie próbki są pozytywne; ale ten test nie zwraca wartości p, a zatem nie pasuje do zwykłych ram testowych. Jeśli po prostu policzę znaki dodatnie i ujemne jako statystykę testową (i odpowiednio obliczę wartości p ), skończę z testem znakowym , który jest rozsądnym testem.
źródło
Odpowiedzi:
Następuje niewielka uwaga na temat lematu Neymana – Pearsona (dowód w Geisser (2006), Tryby parametrycznego wnioskowania statystycznego , roz. 4.4): definiuje najmniej skuteczny test poziomu , , hipotezy zerowej gęstość vs gęstość z danych .Eϕ(X)=α
ϕ(x)={0 1 when f0(x)<kf1(x)when f0(x)>kf1(x) α ϕ H0: f0 H1: f1 x
Na podstawie tego wyniku można uzyskać jednolicie najmniej potężne, lokalnie najmniej potężne, jednolicie najmniej potężne podobne i najmniej skuteczne „całkowicie stronnicze” testy (mam na myśli te o niższej mocy pod jakąkolwiek alternatywą niż pod zerą). Jeśli masz już najbardziej jednorodnie najpotężniejszy, & c. test, wystarczy pomnożyć statystykę testową przez -1, aby zachować partycjonowanie przestrzeni próbki, którą ona wywołuje podczas odwracania kolejności partycji.
Być może, jak sugeruje @ user54038, „niepowodzenie ogólnej metody konstrukcji testowej” może być bardziej interesujące. Lehmann (1950), „Niektóre zasady teorii testowania hipotez statystycznych”, Ann. Matematyka Statystyk. , 21 , 1, przypisuje następujący przykład Steinowi:
Zauważ, że bierze pod uwagę uogólniony test prawdopodobieństwa, przy czym w roli parametru uciążliwego należy zmaksymalizować. Tak więc, gdy lub , odpowiednio lub , a iloraz prawdopodobieństwa wynosi w obu przypadkach; dla każdej innej wartości jest to niższa wartość .p X=−2 X=2 p^=1 p^=0 2Cα X 1−C1−α
źródło
(Powiązane z komentarzem @Scortchi)
Załóżmy, że i chcemy przetestować hipotezęX∼N(μ,1)
Ze względu na esetoryzm powiększmy nasze dane o niezależne „rzucie monetą” gdzie jest znane i nie mniejsze niż poziom istotności (tj. ). Rozważ regiony odrzucenia formularza:Z∼Bernoulli(p) p α p∈[α,1]
Z założenia jest to prawidłowy test rozmiaru .α
Moc tego testu nigdy nie może być jednak większa niż . Załóżmy na przykład, że nasze zaobserwowane dane to . Oczywiste jest, że hipotezę zerową należy odrzucić, ale ponieważ nasza moneta „pokazuje ogony”, nie odrzucamy zerowej. Ustawienie prowadzi do jeszcze głupszego przykładu, w którym region odrzucenia wcale nie zależy od , ale nadal jest prawidłowym regionem odrzucenia o rozmiarze .p (x,z)=(1000000,0) p=α X α
Podobne pytanie można zadać jako zadanie domowe, zmieniając punkt przecięcia na związek w regionie odrzucenia. Ten region jest jednakowo mniej potężny niż region bez , ale jest bardziej rozsądny w tym sensie, że moc nie ma górnej granicy.Z
źródło