Rozważ logarytmiczne zmienne losowe i z i .X 2 log ( X 1 ) ∼ N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) ∼ N ( 0 , σ 2 )
Próbuję obliczyć i \ rho _ {\ min} dla \ rho (X_1, X_2) . Jednym z kroków w danym rozwiązaniu jest: ρ min ρ ( X 1 , X 2 )
i ,
ale powoływali się na komonotoniczność i kontrkonkonotoniczność. Miałem nadzieję, że ktoś pomoże mi zrozumieć, jak są one istotne. (Wiem, jak to uzyskać z ogólnego wyrażenia, ale chcę wiedzieć dokładnie, co mówiły części comonotoniczne).
correlation
copula
Pk.yd
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Zacznę od podania definicji comonotoniczności i przeciwdziałania . Następnie wspomnę, dlaczego jest to istotne, aby obliczyć minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi losowymi. Na koniec obliczę te granice dla logarytmicznych zmiennych losowychX1 i X2 .
Comonotonicity i countermonotonicityX1,…,Xd M(u1,…,ud)=min(u1,…,ud)
X1,…,Xd Z h 1 , … , h d d =
losowe zmienne są uważane comonotonic jeśli ich kopuła jest Fréchet górna granica , która jest najsilniej rodzaj „pozytywnej” zależności. Można wykazać, że są komonotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest jakąś zmienną losową, zwiększają funkcje, a M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) )
Mówi się, że zmienne losowe są przeciwmotoniczne, jeśli ich kopuła jest dolną granicą Frécheta , co jest najsilniejszym rodzajem „negatywnej” zależności w przypadek dwuwymiarowy. Przeciwwłamliwość nie uogólnia się na wyższe wymiary. Można wykazać, że są przeciwmotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest pewną zmienną losową, a i są odpowiednio funkcją rosnącą i malejącą lub odwrotnie. W ( U 1 , U 2 ) = max ( 0 , U 1 + U 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h 2X1,X2 W(u1,u2)=max(0,u1+u2−1)
X1,X2
Osiągalna korelacjaX1 X2 ρmin ρmax X1 X2
Niech i będą dwiema losowymi zmiennymi o ściśle dodatnich i skończonych wariancjach, a niech i oznaczają minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między i . Następnie można to wykazaćX 2 ρ min ρ max X 1 X 2
Osiągalna korelacja dla logarytmicznych zmiennych losowychρmax X1 X2 X1=eZ X2=eσZ Z∼N(0,1) ρmax=corr(eZ,eσZ)
Aby uzyskać wykorzystujemy fakt, że maksymalna korelacja jest osiągana wtedy i tylko wtedy, gdy i są comonotoniczne. Zmienne losowe i gdzie są comonotoniczne, ponieważ funkcja wykładnicza jest (ściśle) funkcją rosnącą, a zatem .
Korzystając z właściwości lognormalnych zmiennych losowych , mamy , , , , a kowariancja to Tak więcE(eZ)=e1/2 E(eσZ)=eσ2/2 var(eZ)=e(e−1) var(eσZ)=eσ2(eσ2−1)
Podobne obliczenia z wydajnośćX2=e−σZ
Komentarzσ
Ten przykład pokazuje, że możliwe jest posiadanie pary zmiennych losowych, które są silnie zależne - komonotoniczność i przeciwdziałanie są najsilniejszym rodzajem zależności - ale które mają bardzo niską korelację. Poniższa tabela pokazuje te granice w funkcji .
To jest kod R, którego użyłem do stworzenia powyższej tabeli.
źródło