Osiągalne korelacje dla logarytmicznych zmiennych losowych

19

Rozważ logarytmiczne zmienne losowe i z i .X 2 log ( X 1 ) N ( 0 , 1 ) log ( X 2 ) N ( 0 , σ 2 )X1X2log(X1)N(0,1)log(X2)N(0,σ2)

Próbuję obliczyć i \ rho _ {\ min} dla \ rho (X_1, X_2) . Jednym z kroków w danym rozwiązaniu jest: ρ min ρ ( X 1 , X 2 )ρmaxρminρ(X1,X2)

ρmax=ρ(exp(Z),exp(σZ)) i ρmin=ρ(exp(Z),exp(σZ)) ,

ale powoływali się na komonotoniczność i kontrkonkonotoniczność. Miałem nadzieję, że ktoś pomoże mi zrozumieć, jak są one istotne. (Wiem, jak to uzyskać z ogólnego wyrażenia, ale chcę wiedzieć dokładnie, co mówiły części comonotoniczne).

Pk.yd
źródło
8
Kim oni są"?
whuber

Odpowiedzi:

25

Zacznę od podania definicji comonotoniczności i przeciwdziałania . Następnie wspomnę, dlaczego jest to istotne, aby obliczyć minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi losowymi. Na koniec obliczę te granice dla logarytmicznych zmiennych losowych X1 i X2 .

Comonotonicity i countermonotonicity
losowe zmienne są uważane comonotonic jeśli ich kopuła jest Fréchet górna granica , która jest najsilniej rodzaj „pozytywnej” zależności. Można wykazać, że są komonotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest jakąś zmienną losową, zwiększają funkcje, a M ( u 1 , , u d ) = min ( u 1 , , u d ) X 1 , , X d ( X 1 , , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , , h d ( Z ) )X1,,Xd M(u1,,ud)=min(u1,,ud)
X1,,XdZ h 1 , , h d d =

(X1,,Xd)=d(h1(Z),,hd(Z)),
Zh1,,hd=doznacza równość w dystrybucji. Tak więc comonotoniczne zmienne losowe są tylko funkcjami pojedynczej zmiennej losowej.

Mówi się, że zmienne losowe są przeciwmotoniczne, jeśli ich kopuła jest dolną granicą Frécheta , co jest najsilniejszym rodzajem „negatywnej” zależności w przypadek dwuwymiarowy. Przeciwwłamliwość nie uogólnia się na wyższe wymiary. Można wykazać, że są przeciwmotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie jest pewną zmienną losową, a i są odpowiednio funkcją rosnącą i malejącą lub odwrotnie. W ( U 1 , U 2 ) = max ( 0 , U 1 + U 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h 2X1,X2 W(u1,u2)=max(0,u1+u21)
X1,X2

(X1,X2)=d(h1(Z),h2(Z)),
Zh1h2

Osiągalna korelacja
Niech i będą dwiema losowymi zmiennymi o ściśle dodatnich i skończonych wariancjach, a niech i oznaczają minimalny i maksymalny możliwy współczynnik korelacji między i . Następnie można to wykazaćX 2 ρ min ρ max X 1 X 2X1X2ρminρmaxX1X2

  • ρ(X1,X2)=ρmin wtedy i tylko wtedy, gdy i są przeciwmotoniczne;X 2X1X2
  • ρ(X1,X2)=ρmax wtedy i tylko wtedy, gdy i są comonotoniczne.X 2X1X2

Osiągalna korelacja dla logarytmicznych zmiennych losowych
Aby uzyskać wykorzystujemy fakt, że maksymalna korelacja jest osiągana wtedy i tylko wtedy, gdy i są comonotoniczne. Zmienne losowe i gdzie są comonotoniczne, ponieważ funkcja wykładnicza jest (ściśle) funkcją rosnącą, a zatem .ρmaxX1X2X1=eZX2=eσZZN(0,1)ρmax=corr(eZ,eσZ)

Korzystając z właściwości lognormalnych zmiennych losowych , mamy , , , , a kowariancja to Tak więc E(eZ)=e1/2E(eσZ)=eσ2/2var(eZ)=e(e1)var(eσZ)=eσ2(eσ21)

cov(eZ,eσZ)=E(e(σ+1)Z)E(eσZ)E(eZ)=e(σ+1)2/2e(σ2+1)/2=e(σ2+1)/2(eσ1).
ρmax=e(σ2+1)/2(eσ1)e(e1)eσ2(eσ21)=(eσ1)(e1)(eσ21).

Podobne obliczenia z wydajność X2=eσZ

ρmin=(eσ1)(e1)(eσ21).

Komentarz
Ten przykład pokazuje, że możliwe jest posiadanie pary zmiennych losowych, które są silnie zależne - komonotoniczność i przeciwdziałanie są najsilniejszym rodzajem zależności - ale które mają bardzo niską korelację. Poniższa tabela pokazuje te granice w funkcji .σ

wprowadź opis zdjęcia tutaj

To jest kod R, którego użyłem do stworzenia powyższej tabeli.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)
QuantIbex
źródło
7
σ3)X2)
5
Ta ekspozycja jest adaptacją Przykładu 2.1 (str. 23) M. Denuita i J. Dhaene (2003), Prostych charakterystyk komonotoniczności i przeciwmonotoniczności przez ekstremalne korelacje , Belgian Actuarial Bulletin , vol. 3, 22–27.
kardynał
3
@cardinal Nie wiedziałem o tym artykule, dzięki. Inne potencjalne odniesienia to ebooks.cambridge.org/... lub McNeil, AJ, Frey, R. and Embrechts, P. (2005). Ilościowe zarządzanie ryzykiem: koncepcje, techniki i narzędzia. Princeton: Princeton University Press.
QuantIbex,
2
Przykład sięga przynajmniej do RD De Veaux (1976), Ciasne górne i dolne granice korelacji rozkładów dwuwymiarowych powstających w modelach zanieczyszczenia powietrza , Tech. Raport 5, Departament Statystyki, Stanford University. Patrz sekcja 3 od strony 6. Podstawowe narzędzia były znane Hoeffdingowi.
kardynał
X1X2)(h1(Z),h2)(Z))h1,h2)X1=miZX1=miσZ