Czy różnice między równomiernie rozmieszczonymi liczbami są równomiernie rozmieszczone?

Wiele razy rzucamy kostką 6-stronną.

Obliczając różnicę (wartość bezwzględną) między rolką a jej rolką poprzedzającą, czy oczekuje się, że różnice będą równomiernie rozłożone?

Aby zilustrować 10 rolkami:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

Czy diffwartości byłyby równomiernie rozłożone?

Nie, to nie jest jednolite

Możesz policzyć równie prawdopodobnych możliwości różnic bezwzględnych$36$

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

co daje rozkład prawdopodobieństwa dla bezwzględnych różnic

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

Używając tylko najbardziej podstawowych aksjomatów o prawdopodobieństwach i liczbach rzeczywistych, można udowodnić znacznie silniejsze stwierdzenie:

Różnica dowolnych dwóch niezależnych, identycznie rozmieszczonych niestałych wartości losowych $X-Y$ nigdy nie ma dyskretnego rozkładu jednorodnego.

(Analogiczne stwierdzenie dla zmiennych ciągłych zostało udowodnione w Uniform PDF różnicy dwóch rv .)

Chodzi o to, że szansa $X-Y$ jest wartością ekstremalną, musi być mniejsza niż szansa, że $X-Y$ wynosi zero, ponieważ istnieje tylko jeden sposób (powiedzmy) maksymalizacji $X-Y$ podczas gdy istnieje wiele sposobów, aby zerować różnicę , ponieważ $X$ i $Y$ mają taki sam rozkład, a zatem mogą być sobie równe. Oto szczegóły.

Po pierwsze zauważ, że dwie hipotetyczne dwie zmienne $X$ i $Y$ mowa, mogą osiągnąć tylko skończoną liczbę $n$ wartości z prawdopodobieństwem dodatnim, ponieważ będą co najmniej $n$ wyraźne różnice, a równomierny rozkład przypisuje im wszystkie równe prawdopodobieństwo. Jeśli $n$ jest nieskończone, to byłaby liczba możliwych różnic o dodatnim, równym prawdopodobieństwie, skąd suma ich szans byłaby nieskończona, co jest niemożliwe.

$Y$$m$$q = \Pr(Y=m)$$X$$M$$p = \Pr(X=M).$$X$$Y$

Wreszcie , ponieważ i mają ten sam rozkład, istnieje wiele sposobów ich różnice mogą wytwarzać wartość Wśród tych sposobów są przypadki, w których i Ponieważ ten rozkład nie jest stały, różni się od To pokazuje, że te dwa przypadki są zdarzeniami rozłącznymi, a zatem muszą przyczyniać się co najmniej w wysokości do szansy, że wynosi zero; to jest,$X$$Y$$0.$$X=Y=m$$X=Y=M.$$m$$M.$p 2 + q 2 X - Y$p^2 + q^2$$X-Y$

Ponieważ kwadraty liczb nie są ujemne, skąd wywodzimy z że$0 \le (p-q)^2,$$(*)$

pokazujący rozkład nie jest jednolity, QED.$X-Y$

Edytuj w odpowiedzi na komentarz

Podobna analiza różnic bezwzględnychzauważa, że ​​ponieważ i mają taki sam rozkład,Wymaga to od nas zbadaniaTa sama technika algebraiczna daje prawie taki sam wynik, ale istnieje możliwość, że iTen układ równań ma unikalne rozwiązanie$|X-Y|$$X$$Y$$m=-M.$$\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$$2pq=2pq+(p-q)^2$$2pq+p^2+q^2=1.$$p=q=1/2$odpowiadający uczciwej monecie („dwustronna kostka”). Oprócz tego wyjątku wynik dla różnic bezwzględnych jest taki sam jak dla różnic i z tych samych powodów już podanych: mianowicie, absolutne różnice dwóch zmiennych losowych iid nie mogą być równomiernie rozłożone, gdy występują więcej niż dwie wyraźne różnice z prawdopodobieństwem dodatnim.

(koniec edycji)

Zastosujmy ten wynik do pytania, które dotyczy czegoś nieco bardziej złożonego.

Modeluj każdy niezależny rzut kości (która może być niesprawiedliwą kością) za pomocą losowej zmiennej Różnice obserwowane w tych rolkach to liczby Możemy się zastanawiać, jak równomiernie rozmieszczone są te liczby . To naprawdę pytanie dotyczące oczekiwań statystycznych: jaka jest na przykład oczekiwana liczba które są równe zeru? Jaka jest oczekiwana liczba równa ? Itd itd.$X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$$n$$\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$$n-1$$\Delta X_i$$\Delta X_i$$-1$

Problematycznym aspektem tego pytania jest to, że nie są niezależne: na przykład i dotyczą tego samego rzutu$\Delta X_i$ Δ X 1 = X 2 - X 1 Δ X 2 = X 3 - X 2 X 2 .$\Delta X_1 = X_2-X_1$$\Delta X_2 = X_3 - X_2$$X_2.$

To jednak nie jest trudność. Ponieważ oczekiwanie statystyczne jest addytywne, a wszystkie różnice mają ten sam rozkład, jeśli wybierzemy dowolną możliwą wartość różnic, oczekiwana liczba razy różnica równa w całej sekwencji rzutów jest tylko krotnością oczekiwanej liczby różnica razy równa się w jednym etapie procesu. Oczekiwanie na jeden krok to (dla dowolnego ). Oczekiwania te będą takie same dla wszystkich (to znaczy jednolitych ) wtedy i tylko wtedy, gdy będą takie same dla pojedynczego$k$$k$$n$$n-1$$k$$\Pr(\Delta X_i = k)$$i$$k$Δ X i . Δ X i$\Delta X_i.$ Ale widzieliśmy, że żaden nie ma równomiernego rozkładu, nawet gdy matryca może być stronnicza. Zatem nawet w tym słabszym sensie oczekiwanych częstotliwości różnice walców nie są jednolite.$\Delta X_i$

Na poziomie intuicyjnym zdarzenie losowe może być równomiernie rozłożone tylko wtedy, gdy wszystkie jego skutki są jednakowo prawdopodobne.

Czy tak jest w przypadku danego zdarzenia losowego - absolutna różnica między dwoma rzutami kostką?

W tym przypadku wystarczy przyjrzeć się skrajnościom - jakie są największe i najmniejsze wartości, jakie może przyjąć ta różnica?

Oczywiście 0 jest najmniejsze (patrzymy na różnice bezwzględne i rzuty mogą być takie same), a 5 to największe ( 6vs 1).

Możemy wykazać, że wydarzenie jest nierównomierne, pokazując, że 0jest większe (lub mniejsze) prawdopodobieństwo wystąpienia 5.

Na pierwszy rzut oka istnieją tylko dwa sposoby wystąpienia 5 - jeśli pierwsza kostka to 6, a druga 1 lub odwrotnie . Ile sposobów może wystąpić 0?

Jak przedstawia Henry, różnice w rozkładach równomiernie rozłożonych nie są równomiernie rozłożone.

Aby to zilustrować symulowanymi danymi, możemy użyć bardzo prostego skryptu R:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

Widzimy, że daje to rzeczywiście jednolity rozkład. Przyjrzyjmy się teraz rozkładowi bezwzględnych różnic dwóch losowych próbek z tego rozkładu.

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

Inni pracowali nad obliczeniami, dam ci odpowiedź, która wydaje mi się bardziej intuicyjna. Chcesz zbadać sumę dwóch unifrom rv (Z = X + (-Y)), ogólny rozkład jest (dyskretnym) produktem splotu:

$z$$k$$z$

Dzięki przetwarzaniu sygnału wiemy, jak zachowuje się produkt splotowy:

• Iloczyn splotu dwóch jednorodnych funkcji (dwóch prostokątów) da trójkąt. Ilustruje to wikipedia dla ciągłych funkcji:

• $z$$z$

• Mówiąc bardziej ogólnie, wiemy, że jedynymi funkcjami, które są stabilne podczas splotu, są funkcje rodziny gaussowskiej. tzn. tylko rozkład gaussowski jest stabilny przez dodanie (lub bardziej ogólnie, kombinacja liniowa). Oznacza to również, że nie otrzymujesz jednolitego rozkładu podczas łączenia rozkładów jednolitych.

Dlaczego otrzymujemy te wyniki, odpowiedź leży w rozkładzie Fourriera tych funkcji. Transformacja Fouriera produktu splotowego jest prostym produktem transformacji Fouriera każdej funkcji. Daje to bezpośrednie powiązania między współczynnikami Fouriera dla funkcji prostokąta i trójkąta.

$x$$y$$|x-y| = k$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$$k$

Jak łatwo zauważyć, liczba punktów dla każdego koloru nie jest taka sama; dlatego różnice nie są równomiernie rozłożone.

$D_t$$X$$P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

$P(D_t = d)$$d$