Staram się zrozumieć filozofię stojącą za używaniem Uogólnionego Modelu Liniowego (GLM) vs Modelu Liniowego (LM). Poniżej utworzyłem przykładowy zestaw danych, w którym:
W przykładzie nie ma błędu w funkcji wielkości y , więc założyłbym , że najlepszy byłby model liniowy transformowanego logarytmicznie y. W poniższym przykładzie tak właśnie jest (tak mi się wydaje) - ponieważ AIC LM na danych przekształconych logami jest najniższy. AIC rozkładu gamma GLM z funkcją log-link ma niższą sumę kwadratów (SS), ale dodatkowe stopnie swobody skutkują nieco wyższym AIC. Byłem zaskoczony, że rozkład AIC Gaussa jest o wiele wyższy (mimo że SS jest najniższy z modeli).
Mam nadzieję uzyskać poradę, kiedy należy podejść do modeli GLM - tj. Czy jest coś, czego powinienem szukać w moim modelu LM, aby dopasować resztki, aby powiedzieć mi, że inny rozkład jest bardziej odpowiedni? Jak należy postępować w wyborze odpowiedniej rodziny dystrybucyjnej.
Z góry dziękuję za pomoc.
[EDYCJA]: Teraz dostosowałem statystyki podsumowujące, aby SS modelu liniowego przekształconego logarytmicznie było porównywalne z modelami GLM z funkcją log-link. Wykres statystyk jest teraz wyświetlany.
Przykład
set.seed(1111)
n <- 1000
y <- rnorm(n, mean=0, sd=1)
y <- exp(y)
hist(y, n=20)
hist(log(y), n=20)
x <- log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
hist(x, n=20)
df <- data.frame(y=y, x=x)
df2 <- data.frame(x=seq(from=min(df$x), to=max(df$x),,100))
#models
mod.name <- "LM"
assign(mod.name, lm(y ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2) ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.LM"
assign(mod.name, lm(log(y) ~ x, df))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(exp(predict(get(mod.name), newdata=df2)) ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.GAUSS.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=gaussian(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)
mod.name <- "LOG.GAMMA.GLM"
assign(mod.name, glm(y ~ x, df, family=Gamma(link="log")))
summary(get(mod.name))
plot(y ~ x, df)
lines(predict(get(mod.name), newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=2)
#Results
model.names <- list("LM", "LOG.LM", "LOG.GAUSS.GLM", "LOG.GAMMA.GLM")
plot(y ~ x, df, log="y", pch=".", cex=3, col=8)
lines(predict(LM, newdata=df2) ~ df2$x, col=1, lwd=2)
lines(exp(predict(LOG.LM, newdata=df2)) ~ df2$x, col=2, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAUSS.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=3, lwd=2)
lines(predict(LOG.GAMMA.GLM, newdata=df2, type="response") ~ df2$x, col=4, lwd=2)
legend("topleft", legend=model.names, col=1:4, lwd=2, bty="n")
res.AIC <- as.matrix(
data.frame(
LM=AIC(LM),
LOG.LM=AIC(LOG.LM),
LOG.GAUSS.GLM=AIC(LOG.GAUSS.GLM),
LOG.GAMMA.GLM=AIC(LOG.GAMMA.GLM)
)
)
res.SS <- as.matrix(
data.frame(
LM=sum((predict(LM)-y)^2),
LOG.LM=sum((exp(predict(LOG.LM))-y)^2),
LOG.GAUSS.GLM=sum((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2),
LOG.GAMMA.GLM=sum((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2)
)
)
res.RMS <- as.matrix(
data.frame(
LM=sqrt(mean((predict(LM)-y)^2)),
LOG.LM=sqrt(mean((exp(predict(LOG.LM))-y)^2)),
LOG.GAUSS.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAUSS.GLM, type="response")-y)^2)),
LOG.GAMMA.GLM=sqrt(mean((predict(LOG.GAMMA.GLM, type="response")-y)^2))
)
)
png("stats.png", height=7, width=10, units="in", res=300)
#x11(height=7, width=10)
par(mar=c(10,5,2,1), mfcol=c(1,3), cex=1, ps=12)
barplot(res.AIC, main="AIC", las=2)
barplot(res.SS, main="SS", las=2)
barplot(res.RMS, main="RMS", las=2)
dev.off()
źródło
Odpowiedzi:
Dobry wysiłek do przemyślenia tego problemu. Oto niepełna odpowiedź, ale kilka wstępów do kolejnych kroków.
Po pierwsze, wyniki AIC - oparte na prawdopodobieństwach - są w różnych skalach z powodu różnych rozkładów i funkcji łączenia, więc nie są porównywalne. Twoja suma kwadratów i średnia suma kwadratów zostały obliczone na oryginalnej skali, a zatem są na tej samej skali, więc można je porównać, chociaż to, czy jest to dobre kryterium wyboru modelu, to inne pytanie (może być, czy nie - przeszukaj sprawdzone archiwa dotyczące wyboru modelu, aby uzyskać dobrą dyskusję na ten temat).
W przypadku bardziej ogólnego pytania dobrym sposobem skoncentrowania się na problemie jest rozważenie różnicy między LOG.LM (modelem liniowym z odpowiedzią jako log (y)); i LOG.GAUSS.GLM, glm z odpowiedzią jako y i funkcją linku dziennika. W pierwszym przypadku dopasowany model to:
aw przypadku glm () jest to:
źródło
O rodzinie dystrybucyjnej moim zdaniem chodzi o wariancję i jej związek ze średnią. Na przykład w rodzinie gaussowskiej mamy stałą wariancję. W rodzinie gamma mamy wariancję jako kwadratową funkcję średniej. Wykreśl standaryzowane wartości resztkowe względem dopasowanych wartości i zobacz, jak są.
źródło
R
Dane dla tego modelu (podobnie jak AIC) nie będą porównywalne z twoimi modelami. Wiemy jednak, że jest to właściwy model oparty na procesie generowania danych, i zauważamy, że szacowane współczynniki są właściwe dla celu.
źródło
x = log(y) - rnorm(n, mean=0, sd=1)
, otrzymasz log (y) = x + rnorm (n, średnia = 0, sd = 1). Jeśli komentarz @ Whubera zrodził twoją odpowiedź (myślę, że tak), to sądzę, że nie odnosi się on do generowania danych, ale raczej do sformułowania modelu GLM przez @peterellis.Wybór opiera się na twojej hipotezie na twojej zmiennej.
rozkład gamma jest oparty na
Transformacja logów opiera się na hipotezie, że:
W ten sposób,
W oparciu o zasadę Taylora,
Dostajemy
A zatem,
Jednak rozkład gamma opiera się na hipotezie, że:
źródło