Suma zmiennych losowych dwumianowych i Poissona

Jeśli mamy dwie niezależne zmienne losowe i X 2 ∼ P o i s ( λ ) , jaka jest funkcja masy prawdopodobieństwa X 1 + X 2 ?$X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

Uwaga: To nie jest dla mnie praca domowa.

Otrzymasz dwie różne formuły dla , jedną dla 0 ≤ k < n i jedną dla k ≥ n . Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego problemu jest obliczenie iloczynu ∑ n i = 0 p X 1 ( i ) z k oraz ∑ ∞ j = 0 p X 2 ( j ) z j . Następnie $p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$$\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$jest współczynnikiemookw produkcie. Nie jest możliwe uproszczenie sum.$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

Dilip Sarwate stwierdził 7 lat temu, że żadne uproszczenie nie jest możliwe, chociaż zostało to zakwestionowane w komentarzach. Myślę jednak, że warto zauważyć, że nawet bez uproszczenia obliczenia są dość proste w dowolnym arkuszu kalkulacyjnym lub języku programowania.

Oto implementacja w języku R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]