Student t jako mieszanka gaussa

23

Używanie rozkład t-Studenta z stopni swobody, parametr położenia i parametr skali o gęstościl sk>0ls

Γ(k+12)Γ(k2kπs2){1+k1(xls)}(k+1)/2,

jak pokazać, że rozkład Studenta można zapisać jako mieszaninę rozkładów Gaussa, pozwalając , i całkowanie gęstości celu uzyskania gęstości brzeżnej ? Jakie są parametry wynikowej dystrybucji , jako funkcje ?tXN(μ,σ2)τ=1/σ2Γ(α,β)f(x,τ|μ)f(x|μ)tμ,α,β

Zatraciłem się w rachunku różniczkowym całkując łączną gęstość warunkową z rozkładem gamma.

Salih Ucan
źródło

Odpowiedzi:

31

Plik PDF normalnej dystrybucji to

fμ,σ(x)=12πσe(xμ)22σ2dx

ale pod względem to jestτ=1/σ2

gμ,τ(x)=τ2πeτ(xμ)22dx.

Plik PDF z rozkładem gamma to

hα,β(τ)=1Γ(α)eτβτ1+αβαdτ.

Dlatego ich produkt, nieco uproszczony za pomocą łatwej algebry, jest

fμ,α,β(x,τ)=1βαΓ(α)2πeτ((xμ)22+1β)τ1/2+αdτdx.

Jego wewnętrzna część ewidentnie ma postać , co czyni ją wielokrotnością funkcji Gamma, gdy jest zintegrowana w pełnym zakresie τ = 0 do τ = . Ta całka jest zatem natychmiastowa (uzyskana poprzez znajomość całki rozkładu gamma jest jednością), dając rozkład krańcowyexp(constant1×τ)×τconstant2dττ=0τ=

fμ,α,β(x)=βΓ(α+12)2πΓ(α)1(β2(xμ)2+1)α+12.

Próbując dopasować wzór umieszczony na wystaw dystrybucji tam jest błąd w pytaniu: PDF dla rozkładu t Studenta faktycznie jest proporcjonalna dot

1ks(11+k1(xls)2)k+12

(moc wynosi 2 , a nie 1 ). Dopasowanie terminów oznacza k = 2 α , l = μ , a s = 1 / (xl)/s21k=2αl=μ .s=1/αβ


Zauważ, że do tego wyprowadzenia nie był potrzebny rachunek różniczkowy: wszystko polegało na sprawdzeniu wzorów plików PDF normalnych i gamma, przeprowadzeniu kilku trywialnych manipulacji algebraicznych obejmujących produkty i moce oraz dopasowaniu wzorców w wyrażeniach algebraicznych (w tej kolejności).

Whuber
źródło
10
Zainspirowany tą odpowiedzią stworzyłem animację rozkładu t jako mieszankę rozkładów normalnych. Jest dostępny tutaj: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals
Rasmus Bååth,
1
@ whuber: Technicznie rzecz biorąc, dla tego rodzaju dopasowywania zawsze istnieje niejawne użycie rachunku różniczkowego w twoim rozpoznaniu, że możesz zintegrować gęstość gamma za pomocą znanej postaci całkowej. (Jest to statystyczny odpowiednik ukrywania brokułów przez zmieszanie ich z mięsem i ziemniakami.) Sprytny sposób ukrywania rachunku różniczkowego!
Przywróć Monikę
1

Nie znam etapów obliczeń, ale znam wyniki z jakiejś książki (nie pamiętam, która ...). Zazwyczaj pamiętam o tym bezpośrednio: :-) Rozkład Studenta ze swobodą stopnia K można uznać za rozkład normalny z mieszanką wariancji Y , gdzie Y następuje po odwrotnym rozkładzie gamma. Dokładniej, X ~ t ( k ) , X = tkYYXt(k)X *Φ, gdzieY~IG(k/2,k/2),Φjest standardową normalną wartością rv. Mam nadzieję, że to może ci w pewnym sensie pomóc.YΦYIG(k/2,k/2)Φ

Jingjings
źródło
0

Dla uproszczenia przyjmujemy średnią 0 . Korzystając z reprezentacji, pokazujemy wynik dla całkowitych stopni swobody.

1/τX=Y
jest równoważne mieszaninie gaussowskiej z tą wcześniejszą: uwarunkowane naτ,Yjest gaussowskie z dokładnościąτ, a wcześniejszeτjest pożądane. Potem pozostaje pokazać, że1/τXjest rozkładem T. Możemy napisać
τΓ(α,β)β2Γ(α,2)β2χ2(2α)
przy użyciu dobrze znanego wyniku dotyczącego gamma i chi-kwadratów (rozkład gamma jako sumę wykładniczych i łączenie wykładniczych z normalnymi do kwadratów Chi) To z kolei implikuje, że
YX1(β/2)χ2(2α)
=Xαβχ2α2/(2α)
które jest skalowane t przyk=2αis=1/αβμl

Romil Sirohi
źródło