Student t jako mieszanka gaussa

Używanie rozkład t-Studenta z stopni swobody, parametr położenia i parametr skali o gęstościl $k > 0$$l$$s$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

jak pokazać, że rozkład Studenta można zapisać jako mieszaninę rozkładów Gaussa, pozwalając , i całkowanie gęstości celu uzyskania gęstości brzeżnej ? Jakie są parametry wynikowej dystrybucji , jako funkcje ?$t$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$$\mu,\alpha,\beta$

Zatraciłem się w rachunku różniczkowym całkując łączną gęstość warunkową z rozkładem gamma.

Plik PDF normalnej dystrybucji to

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

ale pod względem to jest$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

Plik PDF z rozkładem gamma to

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

Dlatego ich produkt, nieco uproszczony za pomocą łatwej algebry, jest

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

Jego wewnętrzna część ewidentnie ma postać , co czyni ją wielokrotnością funkcji Gamma, gdy jest zintegrowana w pełnym zakresie τ = 0 do τ = ∞ . Ta całka jest zatem natychmiastowa (uzyskana poprzez znajomość całki rozkładu gamma jest jednością), dając rozkład krańcowy$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

Próbując dopasować wzór umieszczony na wystaw dystrybucji tam jest błąd w pytaniu: PDF dla rozkładu t Studenta faktycznie jest proporcjonalna do$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(moc wynosi 2 , a nie 1 ). Dopasowanie terminów oznacza k = 2 α , l = μ , a s = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$ .$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

---

Zauważ, że do tego wyprowadzenia nie był potrzebny rachunek różniczkowy: wszystko polegało na sprawdzeniu wzorów plików PDF normalnych i gamma, przeprowadzeniu kilku trywialnych manipulacji algebraicznych obejmujących produkty i moce oraz dopasowaniu wzorców w wyrażeniach algebraicznych (w tej kolejności).

Nie znam etapów obliczeń, ale znam wyniki z jakiejś książki (nie pamiętam, która ...). Zazwyczaj pamiętam o tym bezpośrednio: :-) Rozkład Studenta ze swobodą stopnia K można uznać za rozkład normalny z mieszanką wariancji Y , gdzie Y następuje po odwrotnym rozkładzie gamma. Dokładniej, X ~ t ( k ) , X = $t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$ *Φ, gdzieY~IG(k/2,k/2),Φjest standardową normalną wartością rv. Mam nadzieję, że to może ci w pewnym sensie pomóc.$\sqrt Y$$\Phi$$Y$$IG(k/2,k/2)$$\Phi$

Dla uproszczenia przyjmujemy średnią $0$ . Korzystając z reprezentacji, pokazujemy wynik dla całkowitych stopni swobody.

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ jest równoważne mieszaninie gaussowskiej z tą wcześniejszą: uwarunkowane na$\tau$,$Y$jest gaussowskie z dokładnością$\tau$, a wcześniejsze$\tau$jest pożądane. Potem pozostaje pokazać, że$\sqrt{1/\tau} X$jest rozkładem T. Możemy napisać $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ przy użyciu dobrze znanego wyniku dotyczącego gamma i chi-kwadratów (rozkład gamma jako sumę wykładniczych i łączenie wykładniczych z normalnymi do kwadratów Chi) To z kolei implikuje, że $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ które jest skalowane t przy$k=2\alpha$i$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$$\mu$$l$