To, co się pomieszało, to specyfikacja kowariancji pod względem przestrzeni otoczenia, w której zdefiniowany jest proces Gaussa, oraz operacja, która przekształca losową zmienną Gaussa o skończonym wymiarze w celu uzyskania rozkładu Wishart.
Jeśli jest wymiarową zmienną losową Gaussa (wektor kolumny) ze średnią 0 i macierzą kowariancji , rozkład jest rozkładem Wishart . Zauważ, że jest macierzą . Jest to ogólny wynik tego, w jaki sposób kwadratowa forma
przekształca rozkład Gaussa w rozkład Wishart. Dotyczy dowolnego wyboru dodatniej określonej macierzy kowariancji . Jeśli masz obserwacjeX∼N(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p
x↦xxT
ΣX1,…,Xnnastępnie z dystrybucja
jest Wishart -dystrybucja. Dzieląc przez , otrzymujemy empiryczną macierz kowariancji oszacowanie .
Wi=XiXTiW1+…+Wn
Wp(Σ,n)n−Σ
Dla procesów gaussowskich istnieje przestrzeń otoczenia, powiedzmy dla ilustracji, że jest to , tak że rozważane zmienne losowe są indeksowane przez elementy w przestrzeni otoczenia. Oznacza to, że rozważamy proces . Jest Gaussowski (i dla uproszczenia, tutaj ze średnią 0), jeśli jego skończone wymiarowe rozkłady brzeżne są Gaussowskie, to znaczy, jeśli
dla wszystkich . Wybór funkcji kowariancji , jak wspomniano w OP, określa macierz kowariancji, czyli
R(X(x))x∈R
X(x1,…,xp):=(X(x1),…,X(xp))T∼N(0,Σ(x1,…,xp))
x1,…,xp∈Rcov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,…,xp)i,j=K(xi,xj).
Niezależnie od wyboru rozkład
będzie Wishart -dystrybucja.
KX(x1,…,xp)X(x1,…,xp)T
Wp(Σ(x1,…,xp),1)