Macierz kowariancji dla procesu Gaussa i rozkładu Wishart

11

Czytam ten artykuł na temat ogólnych procesów Wishart (GWP). Artykuł oblicza kowariancje między różnymi zmiennymi losowymi (zgodnie z procesem Gaussa ) za pomocą kwadratowej funkcji kowariancji wykładniczej, tj. . Następnie mówi, że ta macierz kowariancji jest zgodna z GWP.K(x,x)=exp(|(xx)|22l2)

Kiedyś myślałem, że macierz kowariancji obliczona z liniowej funkcji kowariancji ( )K(x,x)=xTx , podąża za rozkładem Wishart z odpowiednimi parametrami.

Moje pytanie brzmi: w jaki sposób możemy nadal zakładać, że kowariancja podąża za rozkładem Wisharta z kwadratową wykładniczą funkcją kowariancji? Ponadto, ogólnie, jaki jest konieczny warunek dla funkcji kowariancji do wytworzenia macierzy kowariancji rozproszonej Wishart?

steadyfish
źródło

Odpowiedzi:

8

To, co się pomieszało, to specyfikacja kowariancji pod względem przestrzeni otoczenia, w której zdefiniowany jest proces Gaussa, oraz operacja, która przekształca losową zmienną Gaussa o skończonym wymiarze w celu uzyskania rozkładu Wishart.

Jeśli jest wymiarową zmienną losową Gaussa (wektor kolumny) ze średnią 0 i macierzą kowariancji , rozkład jest rozkładem Wishart . Zauważ, że jest macierzą . Jest to ogólny wynik tego, w jaki sposób kwadratowa forma przekształca rozkład Gaussa w rozkład Wishart. Dotyczy dowolnego wyboru dodatniej określonej macierzy kowariancji . Jeśli masz obserwacjeXN(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p

xxxT
ΣX1,,Xnnastępnie z dystrybucja jest Wishart -dystrybucja. Dzieląc przez , otrzymujemy empiryczną macierz kowariancji oszacowanie .Wi=XiXiT
W1++Wn
Wp(Σ,n)nΣ

Dla procesów gaussowskich istnieje przestrzeń otoczenia, powiedzmy dla ilustracji, że jest to , tak że rozważane zmienne losowe są indeksowane przez elementy w przestrzeni otoczenia. Oznacza to, że rozważamy proces . Jest Gaussowski (i dla uproszczenia, tutaj ze średnią 0), jeśli jego skończone wymiarowe rozkłady brzeżne są Gaussowskie, to znaczy, jeśli dla wszystkich . Wybór funkcji kowariancji , jak wspomniano w OP, określa macierz kowariancji, czyli R(X(x))xR

X(x1,,xp):=(X(x1),,X(xp))TN(0,Σ(x1,,xp))
x1,,xpR
cov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,,xp)i,j=K(xi,xj).
Niezależnie od wyboru rozkład będzie Wishart -dystrybucja.K
X(x1,,xp)X(x1,,xp)T
Wp(Σ(x1,,xp),1)
NRH
źródło
Dziękuję za odpowiedź. Mam kilka pytań, reg. twoja odpowiedź -Gdy powiesz, że transformacja przekształcająca dystans Gaussa w dystans Wishart ma dowolny wybór + ve określonej macierzy cov, jakie mamy różne wybory dla tej macierzy cov? Również, aby wyjaśnić - dla macierzy cov zdefiniowanej przez funkcję cov, i i j wskazują elementy w przestrzeni otoczenia Procesu Gaussa (na przykład, jeśli jest to proces czasowy, to momenty t_1 it_2)?
steadyfish,
@steadyfish, tak, wskaźniki i odnoszą się do punktów i w przestrzeni otoczenia, a dla procesu czasowego do dwóch punktów czasowych. Macierze kowariancji są zawsze dodatnie (pół) określone. Sformułowanie nie miało na celu ograniczenia wyniku w żaden sposób, ale raczej podkreślenie, że dotyczy dowolnego wyboru o ile jest macierzą kowariancji. Pominąłem możliwość, że może być tylko pół-skończona, aby uniknąć zaśmiecania odpowiedzi nieistotnymi kwestiami dotyczącymi pojedynczych rozkładów normalnych itp.ijxixjΣ ΣΣ
NRH
Dzięki @NRH. Chodzi mi o przestrzeń otoczenia. Jeśli chodzi o macierz kowariancji, moje pytanie dotyczyło tego, czy istnieje inny sposób definiowania macierzy kowariancji oprócz (a nie o dodatniej określonej lub dodatniej właściwości semidefinite). (Mam nadzieję, że tym razem pytanie jest jasne!)xTx
steadyfish 05.04.13
@steadyfish, och, rozumiem. W rzeczywistości byłem niechlujny z transpozycjami i czy wektory były wektorami rzędowymi czy kolumnowymi. Uściśliłem to teraz i dodałem trochę o związku między empiryczną macierzą kowariancji a teoretyczną macierzą kowariancji. Teoretyczna nie jest zdefiniowana w kategoriach obserwacji.
NRH