testy vs testy?

Próbuję dowiedzieć się dokładnie, jaka jest różnica między -tests i -tests.$t$$z$

O ile wiem, do obu klas testów używa się tej samej statystyki testu, coś w rodzaju

gdzie to przykładowa statystyka, C to jakaś stała odniesienia (lokalizacji) (która zależy od szczegółowych danych testu), a \ widehat {\ nazwa operatora {se}} (\ hat {b}) jest standardem błąd \ hat {b} . C ^ se ( b )$\hat{b}$$C$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{b})$$\hat{b}$

Jedyną różnicą między tymi dwiema klasami testów jest to, że w przypadku testów $t$ powyższa statystyka testów ma rozkład $t$ (dla niektórych określonych dla próby stopni swobody $d$ ), podczas gdy w przypadku $z$ -testy, ta sama statystyka testu przebiega zgodnie ze standardowym rozkładem normalnym $\mathcal{N}(0, 1)$ . (To z kolei sugeruje, że wybór testu $z$ lub testu $t$ zależy od tego, czy próbka jest wystarczająco duża.)

Czy to jest poprawne?

Nazwy „ -test” i „ -test” są zwykle używane w odniesieniu do specjalnego przypadku, gdy jest normalny , i . Możesz jednak oczywiście konstruować testy typu „ -test” również w innych ustawieniach ( przychodzi na myśl bootstrap ), używając tego samego rodzaju rozumowania.oo X N ( μ , Ď 2 ) b = ˂ x C = | j 0$t$$z$$X$$\mbox{N}(\mu,\sigma^2)$$\hat{b}=\bar{x}$$C=\mu_{0}$$t$

Tak czy inaczej, różnica polega na części :$\mbox{s.e.}(\hat{b})$

• W teście zakłada się, że odchylenie standardowe jest znane bezbłędnie . W specjalnym przypadku wspomnianym powyżej oznacza to, że .b S.E. ( ˉ x ) = σ / $z$$\hat{b}$$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n}$
• W -test, jest szacowana z wykorzystaniem danych . W specjalnym przypadku wspomnianym powyżej oznacza to, że , gdzie jest estymatorem .s.e. ( ˉ x ) = σ / $t$σ =$\mbox{s.e.}(\bar{x})=\hat{\sigma}/\sqrt{n}$$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$\sigma$

Wybór między -Test i -Test więc, w zależności od tego, czy jest znane przed zebraniem danych .z σ$t$$z$$\sigma$

Powodem tego, że rozkład tych dwóch statystyk różni się, jest to, że statystyki zawierają więcej niewiadomych. To powoduje, że jest bardziej zmienny, dzięki czemu jego rozkład ma cięższe ogony. W miarę wzrostu wielkości próby estymator zbliża się bardzo do prawdziwej , więc jest zasadniczo znany. Gdy więc wielkość próbki jest duża, kwantyle mogą być również użyte do testu .n Ď Ď Ď N ( 0 , 1 ) $t$$n$$\hat{\sigma}$$\sigma$$\sigma$$\mbox{N}(0,1)$$t$