suma niecentralnych zmiennych losowych chi-kwadrat

21

Muszę znaleźć rozkład zmiennej losowej

Y=i=1n(Xi)2
gdzie XiN(μi,σi2) i wszystkie Xi są niezależne. Wiem, że można najpierw znaleźć iloczyn wszystkich funkcji generujących momenty dla Xi , a następnie przekształcić je z powrotem, aby uzyskać rozkład YZastanawiam się jednak, czy istnieje ogólna forma dla Y podobnie jak przypadek Gaussa: wiemy, że suma niezależnego Gaussa wciąż jest gaussowskim, dlatego musimy znać tylko zsumowaną średnią i zsumowaną wariancję.

Co powiesz na wszystkie ? Czy ten warunek stanowi ogólne rozwiązanie?σi2=σ2

pułapka
źródło
1
Patrząc na pierwszym akapicie pod tutaj wyraźnie końcowy stan daje skalowany noncentral chi-kwadrat (dzielenie przez przez (współczynnik skali wykupić przodu) i dokonać σ i = 1 w Ď k i = 1 ( X I / σ i ) 2 ). Bardziej ogólna forma, którą zacząłeś, wygląda jak kombinacja liniowa lub średnia ważona ze skalowaniem, ze współczynnikami σ 2 i zamiast zwykłej sumy skalowanych kwadratów ... i wierzę, że ogólnie nie będzie miał wymaganego rozkładu. σ2σi=1i=1k(Xi/σi)2σi2
Glen_b - Przywróć Monikę
W zależności od tego, do czego jest to potrzebne, w określonych przypadkach może być możliwe wykonanie splotu numerycznego lub symulacji.
Glen_b
Uogólnia się to poprzez rozkład „ważonej sumy log chi-kwadratów do mocy”. Mój pakiet R sadistszapewnia przybliżone funkcje „dpqr” dla ; cf github.com/shabbychef/sadistsY
shabbychef

Odpowiedzi:

17

Jak zauważył Glen_b w komentarzach, jeśli wszystkie wariancje są takie same, otrzymamy skalowane niecentralne chi-kwadrat.

Jeśli nie, to pojęcie uogólnionego rozkładu chi-kwadrat , czyli dla x ~ N ( μ , Σ ) i stałe. W tym przypadku, masz szczególny przypadek przekątnej Ď ( Σ i ja = σ 2 i ) oraz = I .xTAxxN(μ,Σ)AΣΣii=σi2A=I

Było trochę pracy nad obliczeniem rzeczy w tej dystrybucji:

Możesz także zapisać go jako liniową kombinację niezależnych niecentralnych zmiennych chi-kwadrat , w którym to przypadku:Y=i=1nσi2(Xi2σi2)

Bausch (2013) podaje bardziej wydajny obliczeniowo algorytm dla liniowej kombinacji centralnych chi-kwadratów; jego prace mogą być rozszerzane na niecentralne chi-kwadraty, a niektóre interesujące wskazówki można znaleźć w powiązanej sekcji pracy.

Dougal
źródło
2
Porównanie metod aproksymacyjnych znajduje się w Duchesne i in. 2010. Statystyka obliczeniowa i analiza danych, 54, 858–862. Autorzy utrzymują pakiet R CompQuadForm z implementacjami.
caracal
-10

Będzie to chi-kwadrat o stopniu swobody.

Ahmed
źródło
6
Myślę, że przeoczyłeś, że może być niezerowe. Komentarze do pytania oraz istniejąca odpowiedź mają charakter informacyjny. μi
whuber