Autowowariancja procesu ARMA (2,1) - wyprowadzenie modelu analitycznego dla

13

Muszę wyprowadzić wyrażenia analityczne dla funkcji autokowariancji procesu ARMA (2,1) oznaczonej przez:γ(k)

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

Więc wiem, że:

γ(k)=E[yt,ytk]

więc mogę napisać:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

następnie, aby uzyskać analityczną wersję funkcji autokowariancji, muszę zastąpić wartości - 0, 1, 2 ... dopóki nie otrzymam rekurencji, która jest ważna dla wszystkich większych niż jakaś liczba całkowita.kk

Dlatego podstawiam i pracuję przez to, aby uzyskać:k=0

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

teraz mogę uprościć pierwsze dwa z tych terminów, a następnie zastąpić jak poprzednio:yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

następnie mnożę osiem terminów, którymi są:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

Pozostaję więc zmuszony rozwiązać cztery pozostałe warunki. Chcę użyć tej samej logiki dla linii 1, 2, 5 i 6, jak użyłem dla linii 4 i 7 - na przykład dla linii 1:

E [ ϵ t - 1 ] = 0θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0 ponieważ .E[ϵt1]=0

Podobnie dla linii 2, 5 i 6. Ale mam rozwiązanie modelowe, które sugeruje, że wyrażenie dla upraszcza:γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

Sugeruje to, że moje uproszczenie, jak opisano powyżej, termin o współczynniku - który według mojej logiki powinien wynosić 0. Czy moja logika jest winna, czy też rozwiązanie modelowe, które znalazłem nieprawidłowe?ϕ1

Sprawdzone rozwiązanie sugeruje również, że „analogicznie” można znaleźć jako:γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

i dla :k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

Mam nadzieję, że pytanie jest jasne. Każda pomoc będzie mile widziana. Z góry dziękuję.

To pytanie dotyczy moich badań i nie jest w przygotowaniu do żadnego egzaminu ani zajęć.

hydrolog
źródło

Odpowiedzi:

8

Jeśli proces ARMA jest przyczynowy, istnieje ogólna formuła, która zapewnia współczynniki autokowariancji.

Rozważmy przyczynowy Sposób gdzie jest białym szumem ze średnią wartością zero i wariancją . We właściwości przyczynowości proces można zapisać jako gdzie oznacza .y t = p i = 1 ϕ i y t -ARMA(p,q)

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
ϵtσϵ2
yt=j=0ψjϵtj,
ψjψ

Ogólne równanie jednorodne dla współczynników autokowariancji procesu przyczynowego to z warunkami początkowymi ARMA(p,q)

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).
QuantIbex
źródło
2

Twój błąd obliczeniowy w twoim pierwotnym pytaniu leży

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

Nie można oddzielić oczekiwania - i nie są niezależne. ϵ t - 1E[ϵt1yt1]ϵt1yt1

Alecos Papadopoulos
źródło
Jak widać z mojej aktualizacji (poniżej) zdałem sobie z tego sprawę wkrótce po ukończeniu postu - ale wielkie dzięki za pomoc!
hydrolog
1

DOBRZE. Tak więc proces pisania postu faktycznie wskazał mi rozwiązanie.

Rozważ warunki Oczekiwania 1, 2, 5 i 6 z góry, które moim zdaniem powinny wynosić 0.

Natychmiast dla terminów 5 - - i 6 - : te warunki są zdecydowanie zero, ponieważ i są niezależne od i .E[ϵtyt1]E[ϵtyt2]yt1yt2ϵtE[ϵt]=0

Jednak terminy 1 i 2 wyglądają tak, jakby oczekiwanie dotyczyło dwóch zmiennych skorelowanych. Rozważmy więc wyrażenia dla i :yt1yt2

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

I przypomnijmy sobie termin 1 - . Jeśli pomnożymy obie strony wyrażenia dla przez a następnie weźmy Oczekiwania, jasne jest, że wszystkie wyrażenia po prawej stronie oprócz ostatniego stają się zerowe (ponieważ wartości , i są niezależne od i ), aby dać:ϕ1θ1E[ϵt1yt1]yt1ϵt1yt2yt3ϵt2ϵt1E[ϵt1]=0

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

Tak więc termin 1 staje się . W przypadku terminu 2 powinno być jasne, że zgodnie z tą samą logiką wszystkie warunki są zerowe.+ϕ1θ1σϵ2

Dlatego oryginalna odpowiedź modelu była poprawna.

Jeśli jednak ktoś może zasugerować alternatywny sposób na uzyskanie ogólnego (nawet bałaganiarskiego) rozwiązania, byłbym bardzo zadowolony z jego usłyszenia!

hydrolog
źródło