Muszę wyprowadzić wyrażenia analityczne dla funkcji autokowariancji procesu ARMA (2,1) oznaczonej przez:
Więc wiem, że:
więc mogę napisać:
następnie, aby uzyskać analityczną wersję funkcji autokowariancji, muszę zastąpić wartości - 0, 1, 2 ... dopóki nie otrzymam rekurencji, która jest ważna dla wszystkich większych niż jakaś liczba całkowita.
Dlatego podstawiam i pracuję przez to, aby uzyskać:
teraz mogę uprościć pierwsze dwa z tych terminów, a następnie zastąpić jak poprzednio:
następnie mnożę osiem terminów, którymi są:
Pozostaję więc zmuszony rozwiązać cztery pozostałe warunki. Chcę użyć tej samej logiki dla linii 1, 2, 5 i 6, jak użyłem dla linii 4 i 7 - na przykład dla linii 1:
E [ ϵ t - 1 ] = 0 ponieważ .
Podobnie dla linii 2, 5 i 6. Ale mam rozwiązanie modelowe, które sugeruje, że wyrażenie dla upraszcza:
Sugeruje to, że moje uproszczenie, jak opisano powyżej, termin o współczynniku - który według mojej logiki powinien wynosić 0. Czy moja logika jest winna, czy też rozwiązanie modelowe, które znalazłem nieprawidłowe?
Sprawdzone rozwiązanie sugeruje również, że „analogicznie” można znaleźć jako:
i dla :
Mam nadzieję, że pytanie jest jasne. Każda pomoc będzie mile widziana. Z góry dziękuję.
To pytanie dotyczy moich badań i nie jest w przygotowaniu do żadnego egzaminu ani zajęć.
źródło
DOBRZE. Tak więc proces pisania postu faktycznie wskazał mi rozwiązanie.
Rozważ warunki Oczekiwania 1, 2, 5 i 6 z góry, które moim zdaniem powinny wynosić 0.
Natychmiast dla terminów 5 - - i 6 - : te warunki są zdecydowanie zero, ponieważ i są niezależne od i .E[ϵtyt−1] E[ϵtyt−2] yt−1 yt−2 ϵt E[ϵt]=0
Jednak terminy 1 i 2 wyglądają tak, jakby oczekiwanie dotyczyło dwóch zmiennych skorelowanych. Rozważmy więc wyrażenia dla i :yt−1 yt−2
I przypomnijmy sobie termin 1 - . Jeśli pomnożymy obie strony wyrażenia dla przez a następnie weźmy Oczekiwania, jasne jest, że wszystkie wyrażenia po prawej stronie oprócz ostatniego stają się zerowe (ponieważ wartości , i są niezależne od i ), aby dać:ϕ1θ1E[ϵt−1yt−1] yt−1 ϵt−1 yt−2 yt−3 ϵt−2 ϵt−1 E[ϵt−1]=0
Tak więc termin 1 staje się . W przypadku terminu 2 powinno być jasne, że zgodnie z tą samą logiką wszystkie warunki są zerowe.+ϕ1θ1σ2ϵ
Dlatego oryginalna odpowiedź modelu była poprawna.
Jeśli jednak ktoś może zasugerować alternatywny sposób na uzyskanie ogólnego (nawet bałaganiarskiego) rozwiązania, byłbym bardzo zadowolony z jego usłyszenia!
źródło