Czy istnieje różnica między „kontrolowaniem” i „ignorowaniem” innych zmiennych w regresji wielokrotnej?

Współczynnik zmiennej objaśniającej w regresji wielokrotnej mówi nam o związku tej zmiennej objaśniającej ze zmienną zależną. Wszystko to podczas „kontrolowania” pozostałych zmiennych objaśniających.

Jak do tej pory go przeglądałem:

Podczas obliczania każdego współczynnika inne zmienne nie są brane pod uwagę, więc uważam je za ignorowane.

Czy mam zatem rację, gdy uważam, że terminów „kontrolowany” i „ignorowany” można używać zamiennie?

Kontrolowanie czegoś i ignorowanie czegoś to nie to samo. Rozważmy wszechświat, w którym istnieją tylko 3 zmienne: , i . Chcemy zbudować model regresji, który przewiduje , i jesteśmy szczególnie zainteresowani jego relacją z . Istnieją dwie podstawowe możliwości. X 1 X 2 Y X $Y$$X_1$$X_2$$Y$$X_1$

1. Mogliśmy ocenić związek pomiędzy i , podczas sterowania na : lub Y X 2 Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X $X_1$$Y$$X_2$
   $$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2$$

2. moglibyśmy ocenić związek między i , ignorując : Y X $X_1$$Y$ $X_2$

   $$Y = \beta_0 + \beta_1X_1$$

To prawda, są to bardzo proste modele, ale stanowią one różne sposoby patrzenia na to, jak relacje między i przejawia. Często szacowane s mogą być podobne w obu modelach, ale mogą być zupełnie inne. Najważniejsze w określeniu ich różnic jest relacja (lub jej brak) między i . Rozważ tę liczbę: Y β 1 X 1 X $X_1$$Y$$\hat\beta_1$$X_1$$X_2$

W tym scenariuszu jest skorelowane z . Ponieważ wykres jest dwuwymiarowy, w pewnym sensie ignoruje (być może ironicznie), więc wskazałem wartości dla każdego punktu za pomocą różnych symboli i kolorów (poniższy wykres pseudo-3D zapewnia inny sposób próby wyświetlenia struktury danych). Jeśli dopasujemy model regresji, który ignoruje , otrzymamy ciągłą czarną linię regresji. Gdybyśmy dopasowali model, który kontrolował dla , otrzymalibyśmy płaszczyznę regresji, która znów jest trudna do wykreślenia, więc narysowałem trzy przekroje w tej płaszczyźnie, gdzie , , aX 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 1 X 2 = 2 X 2 = 3 X 1 Y X 2 X $X_1$$X_2$$X_2$$X_2$ $X_2$$X_2$$X_2=1$$X_2=2$$X_2=3$. Tak więc, mamy linie, które pokazują związek między i , które posiadają kiedy kontrolować za . Warto zauważyć, że kontrolowanie nie daje ani jednej linii, ale zestawu linii. $X_1$$Y$$X_2$ $X_2$

Innym sposobem myślenia o rozróżnieniu między ignorowaniem i kontrolowaniem innej zmiennej jest rozważenie różnicy między rozkładem krańcowym a rozkładem warunkowym . Rozważ tę liczbę:

_{( To pochodzi z mojej odpowiedzi tutaj: jaka jest intuicja kryjąca się za warunkowymi rozkładami Gaussa? )}

Jeśli spojrzeć na krzywą normalną poprowadzoną na lewo od głównego rysunku, który jest marginalny dystrybucja . Jest to dystrybucja jeśli ignorować jego relacje z . Na głównej figurze są dwie normalne krzywe reprezentujące rozkłady warunkowe gdy i . Rozkłady warunkowe kontrolują poziom , podczas gdy rozkład krańcowy go ignoruje . Y X Y X 1 = 25 X 1 = 45 X $Y$$Y$$X$$Y$$X_1 = 25$$X_1 = 45$$X_1$

Są one nie ignorowane. Gdyby zostali „zignorowani”, nie byliby w tym modelu. Oszacowanie zmiennej objaśniającej zainteresowania jest uwarunkowane od innych zmiennych. Oszacowanie jest tworzone „w kontekście” lub „uwzględniając wpływ” innych zmiennych w modelu.