Każdy pracowity uczeń jest kontrprzykładem dla „wszyscy uczniowie są leniwi”.
Jakie są proste kontrprzykłady na „jeśli zmienne losowe i są nieskorelowane, to są one niezależne”?
correlation
random-variable
independence
Clare Brown
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Niech .X∼ U( - 1 , 1 )
Niech .Y= X2)
Zmienne są nieskorelowane, ale zależne.
Alternatywnie, rozważ dyskretny rozkład dwuwymiarowy składający się z prawdopodobieństwa w 3 punktach (-1,1), (0, -1), (1,1) z prawdopodobieństwem odpowiednio 1/4, 1/2, 1/4. Następnie zmienne są nieskorelowane, ale zależne.
Rozważ dwuwymiarowe dane jednolite w rombie (kwadrat obrócony o 45 stopni). Zmienne będą nieskorelowane, ale zależne.
To są najprostsze przypadki, o których mogę myśleć.
źródło
Myślę, że istotę niektórych prostych kontrprzykładów można zobaczyć, rozpoczynając od ciągłej zmiennej losowej wyśrodkowanej na zero, tj. E [ X ] = 0 . Załóżmy, że pdf X jest parzysty i zdefiniowany w przedziale formy ( - a , a ) , gdzie a > 0 . Załóżmy teraz, że Y = f ( X ) dla niektórych funkcji f . Zadajemy teraz pytanie: dla jakich funkcji f ( X ) możemy mieć C oX E[X]=0 X ( - a , a ) a > 0 Y= f( X) fa fa( X) ?doo v ( X, f( X) ) = 0
Wiemy, że . Nasze założenie, że E [ X ] = 0 prowadzi nas prosto do C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X fdoo v ( X, f( X) ) = E[ Xfa( X) ] - E[ X]E[f(X)] E[X]=0 . Oznaczając pdf X za pomocą p ( ⋅ ) , mamyCov(X,f(X))=E[Xf(X)] X p(⋅)
.Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=∫a−axf(x)p(x)dx
Chcemy a jednym ze sposobów osiągnięcia tego jest zapewnienie, że f ( x ) jest funkcją parzystą, co oznacza, że x f ( x ) p ( x ) jest funkcją nieparzystą. Wynika z tego, że ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 , a więc C o vCov(X,f(X))=0 f(x) xf(x)p(x) ∫a−axf(x)p(x)dx=0 .Cov(X,f(X))=0
W ten sposób widzimy, że dokładny rozkład jest nieważna jako wzdłuż jako pdf jest symetryczny wokół pewnym momencie i każdej nawet funkcja f ( ⋅ ) zrobi dla definiowania Y .X f(⋅) Y
Mamy nadzieję, że pomoże to uczniom zobaczyć, jak ludzie wymyślają tego rodzaju kontrprzykłady.
źródło
Bądź kontrprzykładem (tj. Pracowity student)! Powiedziawszy to:
Próbowałem wymyślić przykład z prawdziwego świata i był to pierwszy, który przyszedł mi do głowy. Nie będzie to matematycznie najprostszy przypadek (ale jeśli zrozumiesz ten przykład, powinieneś być w stanie znaleźć prostszy przykład z urnami i piłkami lub coś takiego).
Według niektórych badań średnie IQ mężczyzn i kobiet jest takie samo, ale wariancja męskiego IQ jest większa niż wariancja kobiecego IQ. Dla konkretności, powiedzmy, że męskie IQ następuje po a żeńskie IQ następuje po N ( 100 , α σ 2 ) z α < 1 . Połowa populacji to mężczyźni, a połowa populacji to kobiety.N(100,σ2) N(100,ασ2) α < 1
Zakładając, że to badanie jest poprawne:
Jaka jest korelacja płci i IQ?
Czy płeć i IQ są niezależne?
źródło
Możemy zdefiniować dyskretną zmienną losową z P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = 1X∈ { - 1 , 0 , 1 } P (X= - 1 ) = P ( X= 0 ) = P ( X= 1 ) = 13)
a następnie zdefiniujY= { 1 ,JeśliX= 00 ,Inaczej
Można łatwo zweryfikować, że i Y są nieskorelowane, ale nie niezależne.X Y
źródło
Spróbuj tego (kod R):
Wynika to z równania kołax2+y2−r2=0
nie jest skorelowane z x , ale jest funkcjonalnie zależne (deterministyczne).Y x
źródło
cor
funkcja zwracająca zero wskaże korelację populacji wynoszącą zero.Jedynym ogólnym przypadkiem, gdy brak korelacji implikuje niezależność, jest to, że łączny rozkład X i Y ma charakter Gaussa.
źródło
Odpowiedź na dwa zdania: najjaśniejszym przypadkiem nieskorelowanej zależności statystycznej jest nieliniowa funkcja RV, powiedzmy Y = X ^ n. Dwa RV są wyraźnie zależne, ale nie są skorelowane, ponieważ korelacja jest relacją liniową.
źródło